- Разрезания, разбиения, покрытия и замощения (662 задачи)
- Упаковки (8 задач)
- Перестройки (16 задач)
- Раскраски (158 задач)
- Эйлерова характеристика (6 задач)
- Целочисленные решетки (122 задачи)
- Системы точек и отрезков (298 задач)
- Геометрия на клетчатой бумаге (137 задач)
- Комбинаторная геометрия (прочее) (75 задач)
Фильтр
Выбрана 31 задача Убрать все задачи
Найдите множество середин хорд, проходящих через заданную точку A внутри окружности.
Концы отрезков AB и CD перемещаются по сторонам данного угла, причем прямые AB и CD перемещаются параллельно; M – точка пересечения отрезков AB и CD. Докажите, что величина
остается постоянной.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна a, один из острых
углов равен α.
Найдите расстояния от основания высоты, опущенной на гипотенузу, до катетов треугольника.
В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что длина стороны BC больше половины длины стороны AB.
В треугольной пирамиде SABC высота SO проходит через точку O –
центр круга, вписанного в основание ABC пирамиды. Известно, что
SAC = 60o ,
SCA = 45o , а отношение площади
треугольника AOB к площади треугольника ABC равно
.
Найдите угол BSC .
Докажите, что отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника с точкой, лежащей на основании, не больше боковой стороны треугольника.
Докажите, что в треугольнике угол A острый тогда и
только тогда, когда ma > a/2.
Можно ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы каждая часть соприкасалась (т.е. имела общие участки границы) с тремя другими?
Можно ли в прямоугольной таблице 5×10 так расставить числа, чтобы сумма чисел каждой строки равнялась бы 30, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 10?
Докажите, что число 100! не является полным квадратом.
В круге отметили точку. Можно ли так разрезать этот круг на три части, чтобы из них можно было бы сложить новый круг, у которого отмеченная точка стояла бы в центре?
Объясните, как покрасить часть точек плоскости так, чтобы на каждой окружности радиуса 1 см было ровно четыре покрашенные точки.
Делится ли на 1999 сумма чисел 1 + 2 + 3 +...+ 1999?
Две окружности пересекаются в точках A и B; AM и AN – диаметры окружностей. Докажите, что точки M, N и B лежат на одной прямой.
На доске записаны два числа a и b (a > b). Их стирают и заменяют числами a+b/2 и a–b/2. С вновь записанными числами поступают аналогичным образом. Верно ли, что после нескольких стираний разность между записанными на доске числами станет меньше 1/2002?
Даны окружность S, точка A на ней и прямая l.
Постройте окружность, касающуюся данной окружности в точке A и данной
прямой.
Может ли n! оканчиваться ровно на пять нулей?
Вокруг окружности описан пятиугольник, длины сторон которого – целые числа, а первая и третья стороны равны 1.
На какие отрезки делит вторую сторону точка касания?
Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 13 и 15, а общая хорда равна 24. Найдите расстояние между центрами.
На плоскости даны три точки. Построить три окружности, касающиеся друг друга в этих точках. Разобрать все случаи.
На плоскости нарисовано пять различных окружностей. Известно, что каждые четыре из них имеют общую точку.
Докажите, что все пять окружностей проходят через одну точку.
Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?
Дано число 1·2·3·4·5·...·56·57.
а) Какая последняя цифра этого числа?
б) Каковы десять последних цифр этого числа?
Будем называть флажком пятиугольник, вершины которого — вершины некоторого квадрата и его центр. Разрежьте фигуру ниже справа на флажки (не обязательно одинаковые).
Докажите, что
ABC <
BAC тогда и только
тогда, когда AC < BC, т. е. против большего угла треугольника лежит
большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.
В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что длина стороны BC больше половины длины стороны AB.
Даны окружность O, прямая a, пересекающая её, и точка M. Через точку M провести секущую b так, чтобы её часть, заключённая внутри окружности O, делилась пополам в точке её пересечения с прямой a.
Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах
целочисленной решетки. Внутри его лежит n узлов решетки, а на
границе m узлов. Докажите, что его площадь равна n + m/2 - 1 (формула
Пика).
Докажите, что квадрат со стороной n не может накрыть более (n + 1)2 точек
целочисленной решётки.
Вершины треугольника ABC расположены в узлах
целочисленной решетки, причем на его сторонах других
узлов нет, а внутри его есть ровно один узел O. Докажите,
что O — точка пересечения медиан треугольника ABC.
а) В конструкции на рисунке переложите две спички так, чтобы получилось пять равных квадратов.
б) Из новой фигуры уберите 3 спички так, чтобы осталось только 3 квадрата.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1345]
Задача 87949 |
|
|
У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своём торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Как это могло быть?
|
|
Решение |
Задача 87954 |
|
|
На какое максимальное число кусков можно разделить круглый блинчик при помощи трех прямолинейных разрезов?
|
|
|
Решение |
Задача 104029 |
|
|
а) В конструкции на рисунке переложите две спички так, чтобы получилось пять равных квадратов.
б) Из новой фигуры уберите 3 спички так, чтобы осталось только 3 квадрата.
|
|
Решение |
Задача 57750 |
|
|
Докажите, что медианы треугольника ABC пересекаются в одной
точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
|
|
|
Решение |
Задача 58220 |
|
|
Разрежьте произвольный треугольник на 3 части и сложите из них
прямоугольник.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1345]
