Версия для печати
Убрать все задачи

---

Есть шесть кусков сыра разного веса. Известно, что можно разложить сыр на две кучки по три куска так, чтобы кучки весили поровну.
Как можно сделать это за два взвешивания на чашечных весах без гирь, если про любые два куска на глаз видно, какой весит больше?

   Решение

---

Последовательность натуральных чисел  a₁, a₂, ..., a_n, ...  такова, что для каждого n уравнение  a_n+2x² + a_n+1x + a_n = 0  имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
  а) равным 10;
  б) бесконечным?

   Решение

---

Во вписанно-описанном четырехугольнике отметили центры $O$, $I$ описанной и вписанной окружностей и середину $M$ одной из диагоналей, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его.

   Решение

---

Две окружности пересекаются в точках A и B. Третья окружность касается их обеих и пересекает прямую AB в точках C и D.
Докажите, что касательные к ней в этих точках параллельны общим касательным к двум первым окружностям.

   Решение

---

Сколько (максимум) кругов можно расположить на плоскости так, чтобы каждые два из них пересекались, а никакие три – нет?

   Решение

---

Шайка разбойников отобрала у купца мешок монет. Каждая монета стоит целое число грошей. Оказалось, что какую бы монету ни отложить, оставшиеся монеты можно разделить между разбойниками так, чтобы каждый получил одинаковую сумму в грошах. Докажите, что если отложить одну монету, то число монет разделится на число разбойников.

   Решение

---

В углу шахматной доски 8×8 стоит фишка. Петя и Вася двигают фишку по очереди, начинает Петя. Он делает фишкой один ход как ферзём (пройденной считается только клетка, куда в итоге переместилась фишка), а Вася – два хода как королём (обе клетки считаются пройденными). Нельзя ставить фишку на клетку, где она уже бывала (включая исходную клетку). Кто не сможет сделать ход – проигрывает. Кто из ребят может играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл соперник?

   Решение

---

В турнире по гандболу участвуют 20 команд. После того как каждая команда сыграла с каждой по разу, оказалось, что количество очков у всех команд разное. После того как каждая команда сыграла с каждой по второму разу, количество очков у всех команд стало одинаковым. В гандболе за победу команда получает 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение — 0 очков. Верно ли, что найдутся две команды, по разу выигравшие друг у друга?

   Решение

---

Дан остроугольный неравнобедренный треугольник. Одним действием разрешено разрезать один из имеющихся треугольников по медиане на два треугольника. Могут ли через несколько действий все треугольники оказаться равнобедренными?

   Решение

---

а) Электрическая схема имеет вид решетки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от каждого узла к любому другому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться?

б) Тот же вопрос для решётки 5×5 (всего 36 узлов).

   Решение

---

Даны шесть слов:
   ЗАНОЗА
   ЗИПУНЫ
   КАЗИНО
   КЕФАЛЬ
   ОТМЕЛЬ
   ШЕЛЕСТ
За один шаг можно заменить любую букву в любом из этих слов на любую другую (например, за один шаг можно получить из слова ЗАНОЗА слово ЗКНОЗА. Какое наименьшее число шагов нужно, чтобы сделать все слова одинаковыми (допускаются бессмысленные)?

   Решение

---

Каждый из двух правильных многоугольников P и Q разрезали прямой на две части. Одну из частей P и одну из частей Q сложили друг с другом по линии разреза. Может ли получиться правильный многоугольник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть сторон?

   Решение

---

У Пети есть 8 монет, про которые он знает только, что 7 из них настоящие и весят одинаково, а одна фальшивая и отличается от настоящей по весу, неизвестно в какую сторону. У Васи есть чашечные весы – они показывают, какая чашка тяжелее, но не показывают, насколько. За каждое взвешивание Петя платит Васе (до взвешивания) одну монету из имеющихся у него. Если уплачена настоящая монета, Вася сообщит Пете верный результат взвешивания, а если фальшивая, то случайный. Петя хочет определить 5 настоящих монет и не отдать ни одну из этих монет Васе. Может ли Петя гарантированно этого добиться?

   Решение

---

В узлах сетки клетчатого прямоугольника $4 \times 5$ расположены $30$ лампочек, изначально все они погашены. За ход разрешается провести любую прямую, не задевающую лампочек (размерами лампочек следует пренебречь, считая их точками), такую, что с какой-то одной стороны от нее ни одна лампочка не горит, и зажечь все лампочки по эту сторону от прямой. Каждым ходом нужно зажигать хотя бы одну лампочку. Можно ли зажечь все лампочки ровно за четыре хода?

   Решение

---

Пусть $ABCD$ — параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка $P$ выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников $PAB$ и $PCD$ имеют общую хорду, перпендикулярную $AD$. Докажите, что радиусы данных окружностей равны.

   Решение

---

Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.

   Решение

---

На плоскости даны десять точек таких, что любые четыре лежат на контуре некоторого квадрата. Верно ли, что все десять лежат на контуре некоторого квадрата?

   Решение

---

Шеренга солдат-новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде «налево» некоторые повернулись налево, остальные – направо. Оказалось, что в затылок соседу смотрит в шесть раз больше солдат, чем в лицо. Затем по команде «кругом» все развернулись в противоположную сторону. Теперь в затылок соседу стали смотреть в семь раз больше солдат, чем в лицо. Сколько солдат в шеренге?

   Решение

---

Дано n палочек. Из любых трёх можно сложить тупоугольный треугольник. Каково наибольшее возможное значение n?

   Решение

---

На плоскости начерчен треугольник и в нём отмечены две точки. Известно, что какой-то из углов треугольника равен 58°, какой-то из остальных – 59°, какая-то из отмеченных точек является центром вписанной окружности, а другая – центром описанной. Используя только линейку без делений, определите, где какой угол и где какая точка.

   Решение

---

Постройте треугольник по вершине A, центру O описанной окружности и точке Лемуана L.

   Решение

---

Карлсон ест варенье вдвое быстрее, чем Малыш, а торт он ест втрое быстрее, чем Малыш.
Однажды они съели банку варенья и торт. Карлсон начал с торта, а Малыш с варенья. Покончив с тортом, Карлсон помог Малышу доесть варенье, и на всё это у них ушло два часа.
В другой раз они съели такую же банку варенья и такой же торт, но Малыш ел торт, а Карлсон начал с варенья. Съев его, Карлсон помог Малышу доесть торт. За какое время они управились на этот раз?

   Решение

---

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через $P$ и параллельная касательной к окружности в точке $D$, пересекает в точках $U$ и $V$ касательные, проведённые к окружности в точках $A$ и $B$. Докажите, что окружности, описанные около треугольника $CUV$ и четырёхугольника $ABCD$, касаются.

   Решение

---

В таблице 10×10 записано 100 различных чисел. За ход можно выбрать любой составленный из клеток прямоугольник и переставить все числа в нём симметрично относительно его центра ("повернуть прямоугольник на 180°"). Всегда ли за 99 ходов можно добиться, чтобы числа возрастали в каждой строке слева направо и в каждом столбце – снизу вверх?

   Решение

---

Существуют ли такие натуральные числа  a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀₀,  что  НОК(a₁, a₂) > НОК(a₂, a₃) > ... > НОК(a₉₉, a₁₀₀)?

   Решение

---

В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 2019. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равна 40. Какое наибольшее количество чисел могло быть выписано?

   Решение

---

а) Есть 128 монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса не более чем за семь взвешиваний?
б) Есть восемь монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса за два взвешивания?

   Решение

---

Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?

   Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 183]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65010

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Четность и нечетность ] [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65043

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

а) Существует ли треугольник, в котором наименьшая медиана длиннее наибольшей биссектрисы?

б) Существует ли треугольник, в котором наименьшая биссектриса длиннее наибольшей высоты?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65393

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Найдите все натуральные числа k, для которых найдутся такие натуральные числа m и n, что  m(m + k) = n(n + 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65558

Темы:   [ Средние величины ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Неравенство Коши ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Ваня задумал два положительных числа x и y. Он записал числа  x + y,  x – y,  xy и ^x/_y и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить x и y.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66210

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Формула Эйлера ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В треугольнике центр описанной окружности лежит на вписанной окружности.
Докажите, что отношение наибольшей стороны треугольника к наименьшей меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 183]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями