Все авторы
>>
Протасов В.Ю. 
Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Дан треугольник ABC. Две прямые, симметричные прямой AC относительно прямых AB и BC соответственно, пересекаются в точке K.
Докажите, что прямая BK проходит через центр O описанной около треугольника ABC окружности.
По кругу записывают 2015 натуральных чисел так, чтобы каждые два соседних числа различались на их наибольший общий делитель.
Найдите наибольшее натуральное N, на которое гарантированно будет делиться произведение этих 2015 чисел.
Корабль в тумане пытается пристать к берегу. Экипаж не знает, в какой стороне находится берег, но видит маяк, находящийся на маленьком острове в $10$ км от берега, и понимает, что расстояние от корабля до маяка не превышает $10$ км (точное расстояние до маяка неизвестно). Маяк окружен рифами, поэтому приближаться к нему нельзя. Может ли корабль достичь берега, проплыв не больше $75$ км? (Береговая линия – прямая, траектория до начала движения вычерчивается на дисплее компьютера, после чего автопилот ведет корабль по ней.)
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке K. Оказалось, что точки B, D, а также середины M и N отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC?
Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.
Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?
Дан выпуклый многогранник и точка $K$, не принадлежащая ему. Для каждой точки $M$ многогранника строится шар с диаметром $MK$. Докажите, что в многограннике существует единственная точка, принадлежащая всем таким шарам.
Окружности Ω1 и Ω2 пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, вторично пересекающая Ω1 и Ω2 в точках K и M соответственно. Прямая l1 касается Ω1 в точке Q и параллельна прямой AM. R – вторая точка пересечения прямой QA с Ω2. Докажите, что
а) касательная l2, проведённая к Ω2 в точке R, параллельна AK.;
б) прямые l1, l2 и K имеют общую точку.
На плоскости даны три прямые l1, l2, l3, образующие треугольник, и отмечена точка O – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки X плоскости обозначим через Xi точку, симметричную точке X относительно прямой li, i = 1, 2, 3.
а) Докажите, что для произвольной точки M прямые, соединяющие середины отрезков O1O2 и M1M2, O2O3 и M2M3, O3O1 и M3M1, пересекаются в одной точке.
б) Где может лежать эта точка пересечения?
В выпуклом четырёхугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырёхугольника. Докажите, что диагонали равны.
Дан многочлен двадцатой степени с целыми коэффициентами. На плоскости отметили все точки с целыми координатами, у которых ординаты не меньше 0 и не больше 10. Какое наибольшее число отмеченных точек может лежать на графике этого многочлена?
Дана бесконечно возрастающая арифметическая прогрессия. Первые её несколько членов сложили и сумму объявили первым членом новой последовательности, затем сложили следующие несколько членов исходной прогрессии и сумму объявили вторым членом новой последовательности, и так далее. Могла ли новая последовательность оказаться геометрической прогрессией?
Какое максимальное число осей симметрии, может иметь объединение k отрезков на плоскости?
Все задачи автора Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 36]
Задача 115779 |
|
|
На сторонах угла взяты точки A, B. Через середину M отрезка AB проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках A1, B1, другая – в точках A2 , B2. Прямые A1B2 и A2B1 пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что M – середина PQ.
|
|
Решение |
Задача 115948 |
|
Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке O. Вершина A правильного треугольника ABC лежит на большей окружности, а середина стороны BC – на меньшей. Чему может быть равен угол BOC?
|
|
|
Решение |
Задача 116905 |
|
|
В треугольнике ABC провели биссектрису CL. В треугольники CAL и CBL вписали окружности, которые касаются прямой AB в точках M и N соответственно. Затем все, кроме точек A, L, M и N, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.
|
|
|
Решение |
Задача 55620 |
|
|
Какое максимальное число осей симметрии, может иметь объединение k отрезков на плоскости?
|
|
Решение |
Задача 55643 |
|
|
От данного угла двумя прямыми разрезами длиной 1 отрежьте многоугольник наибольшего возможного периметра.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 36]
