Версия для печати
Убрать все задачи

---

За круглым столом сидят 30 человек – рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Известно, что у каждого из них за этим же столом есть ровно один друг, причём у рыцаря этот друг – лжец, а у лжеца этот друг – рыцарь (дружба всегда взаимна). На вопрос "Сидит ли рядом с вами ваш друг?" сидевшие через одного ответили "Да". Сколько из остальных могли также ответить "Да"?

   Решение

---

Даны различные натуральные числа  a₁, a₂, ..., a₁₄.  На доску выписаны все 196 чисел вида  a_k + a_l,  где  1 ≤ k, l ≤ 14.  Может ли оказаться, что для каждой комбинации из двух цифр среди написанных на доске чисел найдётся хотя бы одно число, оканчивающееся на эту комбинацию (то есть найдутся числа, оканчивающиеся на 00, 01, 02, ..., 99)?

   Решение

---

Рассматриваются девятизначные числа, состоящие из неповторяющихся цифр от 1 до 9 в разном порядке. Пара таких чисел называется кондиционной, если их сумма равна 987654321.
  а) Доказать, что найдутся хотя бы две кондиционные пары   ((a, b)  и  (b, a)  – одна и та же пара).
  б) Доказать, что кондиционных пар – нечётное число.

   Решение

---

Дано:

Докажите, что  

   Решение

---

На диаметре AC некоторой окружности дана точка E. Проведите через неё хорду BD так, чтобы площадь четырёхугольника ABCD была наибольшей.

   Решение

---

Числа 2¹⁹⁸⁹ и 5¹⁹⁸⁹ выписали одно за другим (в десятичной записи). Сколько всего цифр выписано?

   Решение

---

Десятичная запись натурального числа a состоит из n цифр, а десятичная запись числа a³ состоит из m цифр. Может ли  m + n  равняться 2001?

   Решение

---

Шесть игральных костей нанизали на спицу так, что каждая может вращаться независимо от остальных (протыкаем через центры противоположных граней). Спицу положили на стол и прочитали число, образованное цифрами на верхних гранях костей. Докажите, что можно так повернуть кости, чтобы это число делилось на 7. (На гранях стоят цифры от 1 до 6, сумма цифр на противоположных гранях равна 7.)

   Решение

---

Окружность S₁ касается сторон угла ABC в точках A и C. Окружность S₂ касается прямой AC в точке C и проходит через точку B. Окружность S₁ она пересекает в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.

   Решение

---

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).

   Решение

---

В трапеции ABCD известно, что AB=BC=CD . Диагонали трапеции пересекаются в точке O . Окружность, описанная около треугольника ABO , пересекает основание AD в точке E . Докажите, что BEDC — ромб.

   Решение

---

В основании A₁A₂...A_n пирамиды SA₁A₂...A_n лежит точка O, причём  SA₁ = SA₂ = ... = SA_n  и  ∠SA₁O =  ∠SA₂O = ... = ∠SA_nO.
При каком наименьшем значении n отсюда следует, что SO – высота пирамиды?

   Решение

---

Расшифровать пример на умножение, если буквой Ч зашифрованы чётные числа, а буквой Н – нечётные.

   Решение

---

В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.

   Решение

---

Из вершин произвольного выпуклого четырёхугольника опущены перпендикуляры на его диагонали.
Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, подобен исходному.

   Решение

---

Найдётся ли среди чисел вида 1...1 число, которое делится на 57?

   Решение

---

По шоссе в одну сторону движутся пешеход и велосипедист, в другую сторону – телега и машина. Все участники движутся с постоянными скоростями (каждый со своей). Велосипедист сначала обогнал пешехода, потом через некоторое время встретил телегу, а потом ещё через такое же время встретил машину. Машина сначала встретила велосипедиста, потом через некоторое время встретила пешехода, и потом ещё через такое же время обогнала телегу. Велосипедист обогнал пешехода в 10 часов, а пешеход встретил машину в 11 часов. Когда пешеход встретил телегу?

   Решение

---

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ – высоты остроугольного треугольника ABC, O_A, O_B, O_C – центры вписанных окружностей треугольников AB₁C₁, BC₁A₁, CA₁B₁ соответственно; T_A, T_B, T_C – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника T_AO_CT_BO_AT_CO_B равны.

   Решение

---

Хозяйка сделала расстегай и хочет заранее разрезать его на такие (не обязательно равные) части, чтобы пирог можно было разделить поровну и на пятерых, и на семерых. Каким минимальным числом кусков она сможет обойтись?

   Решение

---

На доске можно либо написать две единицы, либо стереть любые два уже написанных одинаковых числа n и написать вместо них числа  n + 1  и  n – 1.  Какое минимальное количество таких операций требуется, чтобы получить число 2005? (Сначала доска была чистой.)

   Решение

---

Периоды двух последовательностей – 7 и 13. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

   Решение

---

Вадик написал название своего родного города и все его циклические сдвиги (перестановки по кругу), получив таблицу 1. Затем, упорядочив эти ''слова'' по алфавиту, он составил таблицу 2 и выписал её последний столбец: ВКСАМО.

Саша сделал то же самое с названием своего родного города и получил ''слово'' МТТЛАРАЕКИС. Что это за город, если его название начинается с буквы С?

   Решение

---

Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек).
Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

   Решение

---

На отрезке  [a, b]  отмечено несколько синих и красных точек. Две точки одного цвета, между которыми нет отмеченных точек, разрешается стереть. Разрешается также отметить две точки одного цвета, красные или синие, так, чтобы между ними не было других отмеченных точек. Первоначально было отмечено две точки: a – синяя и b – красная. Можно ли сделать несколько разрешенных пребразований так, чтобы в результате было опять две отмеченные точки: a – красная и b – синяя?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 101]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98173

Темы:   [ Системы точек ] [ Четность и нечетность ] [ Инварианты ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

На отрезке  [a, b]  отмечено несколько синих и красных точек. Две точки одного цвета, между которыми нет отмеченных точек, разрешается стереть. Разрешается также отметить две точки одного цвета, красные или синие, так, чтобы между ними не было других отмеченных точек. Первоначально было отмечено две точки: a – синяя и b – красная. Можно ли сделать несколько разрешенных пребразований так, чтобы в результате было опять две отмеченные точки: a – красная и b – синяя?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98181

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На доску последовательно записываются натуральные числа. На n-м шаге (когда написаны числа  a₁, a₂, ..., a_n–1)  пишется любое число, которое нельзя представить в виде суммы  a₁k₁ + a₂k₂ + ... + a_n–1k_n–1,  где k_i – целые неотрицательные числа (на a₁ никаких ограничений не накладывается). Доказать, что процесс написания чисел не может быть бесконечным.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98231

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Задачи на проценты и отношения ] [ Средние величины ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98235

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Периоды двух последовательностей – 7 и 13. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98246

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Алгоритм Евклида ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Периоды двух последовательностей – m и n – взаимно простые числа. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 101]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями