Все авторы
>>
Агаханов Н.Х. 
Назар Хангельдыевич Агаханов (р. 1954) - доцент кафедры высшей математики МФТИ, кандидат физико-математических наук. C 1974 года член жюри Всесоюзной (в 1992 году - Межреспубликанской, c 1993 года - Всероссийской олимпиады школьников по математике). Лидер национальной команды России на международной математической олимпиаде. Председатель Консультативного совета международной математической олимпиады.
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Два правильных равных треугольника расположены в пространстве в параллельных плоскостях P1 и P2, причём отрезок, соединяющий их центры, перпендикулярен плоскостям. Найти геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков, соединяющих точки одного треугольника с точками другого треугольника.
Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?
Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков?
Площадь треугольника ABC равна 2. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через середины рёбер AD , BD , CD .
У Гриши есть 5000 рублей. В магазине продаются шоколадные зайцы по цене 45 рублей за штуку. Чтобы отнести зайцев домой, Грише придется купить ещё несколько сумок по 30 рублей за штуку. В одну сумку помещается не более 30 шоколадных зайцев. Гриша купил наибольшее возможное количество зайцев и достаточное количество сумок, чтобы донести в них всех зайцев. Сколько денег осталось у Гриши?
а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.
б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.
У равнобедренного треугольника стороны равны 3 и 7. Какая из сторон является основанием?
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2;0;3) параллельно плоскости 2x - y - 3z + 5 = 0 .
Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C1 – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
а) прямая C1F делит пополам периметр треугольника ABC;
б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника,
пересекаются в одной точке.
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или
на их продолжениях) взяты точки C1, A1 и B1 так, что ∠(CC1, AB) = ∠(AA1, BC) = ∠(BB1, CA) = α. Прямые AA1 и BB1, BB1 и CC1, CC1 и AA1 пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает
с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен 2 cos α.
Через точку A , лежащую на окружности с центром O, проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что угол BAC вдвое меньше угла BOC.
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами A1, B1 и C1. Пусть a1, b1 и c1 – длины сторон треугольника A1B1C1, S и S1 – площади треугольников ABC и A1B1C1. Докажите, что:
а)
б) S1 – S = 1/8 (a² + b² + c²).
В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.
Существует ли ограниченная функция f : такая, что f(1)>0 и f(x)
удовлетворяет при всех
x,y
неравенству
Все задачи автора Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 105]
Задача 109774 |
|
|
Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что
при всех x
Докажите, что α=γ или α=τ .
|
|
Решение |
Задача 109819 |
|
|
Существует ли ограниченная функция f : такая, что f(1)>0 и f(x)
удовлетворяет при всех
x,y
неравенству
|
|
Решение |
Задача 109573 |
|
|
Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$.
|
|
|
Решение |
Задача 109911 |
|
|
Существуют ли выпуклая n -угольная ( n 4 )
и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла
n -угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?
|
|
|
Решение |
Задача 111826 |
|
|
Докажите, что при k>10 в произведении
можно заменить один cos на sin так, что получится функция f1(x) , удовлетворяющая при всех действительных x неравенству |f1(x)|
|
|
|
Решение |
Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 105]
