Все авторы
>>
Раскина И.В. 
Фильтр
Выбрано 17 задач Убрать все задачи
В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса каждых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.
Найдите все x, при которых уравнение x² + y² + z² + 2xyz = 1 (относительно z) имеет действительное решение при любом y.
На плоскости лежат три трубы (круговые цилиндры одного размера в обхвате 4 м). Две из них лежат параллельно и, касаясь друг друга по общей образующей, образуют над плоскостью тоннель. Третья, перпендикулярная к первым двум, вырезает в тоннеле камеру. Найдите площадь границы этой камеры.
Пусть O – центр правильного треугольника ABC. Из произвольной точки P плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что M – середина отрезка PO.
Oколо четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Точка P – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BC, Q – из A на DC, R – из D на AB и T – из D на BC. Докажите, что точки P, Q, R и T лежат на одной окружности.
Имеются две параллельные прямые p1 и p2.
Точки A и B лежат на p1, а C – на p2. Будем перемещать отрезок BC параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники ABC, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках:
а) точками пересечения высот;
б) точками пересечения медиан;
в) центрами описанных окружностей.
Дан треугольник АВС. Точка О1 – центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О2 и О3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.
В треугольнике ABC высоты или их продолжения пересекаются в точке H, а R – радиус его описанной окружности.
Докажите, что если ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C, то AH + BH ≥ 2R.
Последовательность a1, a2,..,a2000 действительных чисел такова, что для
любого натурального n , 1 n
2000 , выполняется равенство
Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.
Докажите, что в пространстве существует такое расположение 2001 выпуклого многогранника, что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а каждые два касаются друг друга (то есть имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).
Дан такой выпуклый четырехугольник ABCD, что AB = BC и AD = DC. Точки K, L и M – середины отрезков AB, CD и AC соответственно. Перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой BC, пересекается с перпендикуляром, проведенным из точки C к прямой AD, в точке H. Докажите, что прямые KL и HM перпендикулярны.
Можно ли так раскрасить все клетки бесконечной клетчатой плоскости в белый и чёрный цвета, чтобы каждая вертикальная прямая и каждая горизонтальная прямая пересекали конечное число белых клеток, а каждая наклонная прямая конечное число чёрных?
В остроугольном треугольнике ABC на высоте BK как на диаметре построена окружность S, пересекающая стороны AB и BC в точках E и F соответственно. К окружности S в точках E и F проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на прямой, содержащей медиану треугольника ABC, проведённую из вершины B.
У Носорога на шкуре есть вертикальные и горизонтальные складки. Всего складок 17. Если Носорог чешется боком о дерево, то либо две горизонтальные, либо две вертикальные складки на этом боку пропадают, зато на другом боку прибавляются две складки: горизонтальная и вертикальная. (Если двух складок одного направления нет, то ничего не происходит.) Носорог почесался несколько раз. Могло ли случиться, что на каждом боку вертикальных складок стало столько, сколько там раньше было горизонтальных, а горизонтальных стало столько, сколько там было вертикальных?
Можно ли покрасить некоторые клетки доски 8×8 так, чтобы в любом квадрате 3×3 было ровно 5 закрашенных клеток, а в каждом прямоугольнике 2×4 (вертикальном или горизонтальном) – ровно 4 закрашенные клетки?
Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр O описанной окружности треугольника BCM лежит на прямой AM. (Шар считайте точкой.)
В Лесогории живут только эльфы и гномы. Гномы лгут, говоря про
своё золото, а в остальных случаях говорят правду. Эльфы лгут,
говоря про гномов, а в остальных случаях говорят правду. Однажды
два лесогорца сказали:
А: Всё моё золото я украл у Дракона.
Б: Ты лжешь.
Определите, эльфом или гномом является каждый из них.
Все задачи автора Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]
Задача 115374 |
|
|
В Лесогории живут только эльфы и гномы. Гномы лгут, говоря про
своё золото, а в остальных случаях говорят правду. Эльфы лгут,
говоря про гномов, а в остальных случаях говорят правду. Однажды
два лесогорца сказали:
А: Всё моё золото я украл у Дракона.
Б: Ты лжешь.
Определите, эльфом или гномом является каждый из них.
|
|
Решение |
Задача 116606 |
|
|
Торт упакован в коробку с квадратным основанием. Высота коробки вдвое меньше стороны этого квадрата. Ленточкой длины 156 см можно перевязать коробку и сделать бантик сверху (как на рисунке слева). А чтобы перевязать её с точно таким же бантиком сбоку (как на рисунке справа), нужна ленточка длины 178 см. Найдите размеры коробки.
|
|
Решение |
Задача 66380 |
|
|
В разноцветной семейке было поровну белых, синих и полосатых детей-осьминожков. Когда несколько синих осьминожков стали полосатыми, папа решил посчитать детей. Синих и белых вместе взятых оказалось 10, зато белых и полосатых вместе взятых – 18. Сколько детей в разноцветной семейке?
|
|
|
Решение |
Задача 66386 |
|
|
Каждый день баран учит одинаковое количество языков. К вечеру своего дня рождения он знал 1000 языков. В первый день того же месяца он знал к вечеру 820 языков, а в последний день этого месяца – 1100 языков. Когда у барана день рождения?
|
|
|
Решение |
Задача 111893 |
|
|
У 2009 года есть такое свойство: меняя местами цифры числа 2009, нельзя получить меньшее четырехзначное число (с нуля числа не начинаются). В каком году это свойство впервые повторится снова?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]
