Все авторы
>>
Мусин О. 
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Дан выпуклый многогранник и точка K, не принадлежащая ему. Для каждой точки M многогранника строится шар с диаметром MK. Докажите, что в многограннике существует единственная точка, принадлежащая всем таким шарам.
Мортеза отметил на плоскости шесть точек и нашел площади всех 20 треугольников с вершинами в этих точках. Может ли оказаться, что все полученные числа целые, а их сумма равна 2019?
Существуют ли такие
а) 4 различных натуральных числа;
б) 5 различных натуральных чисел;
в) 5 различных целых чисел;
г) 6 различных целых чисел,
что сумма каждых трёх из них – простое число?
Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина – отрицательна. Каково наибольшее возможное количество положительных произведений?
На плоскости даны прямая l и две точки P и Q, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой l такую точку M, для которой расстояние между основаниями высот треугольника PQM, опущенных на стороны PM и QM, наименьшее.
Преподаватель выставил оценки по шкале от 0 до 100. В учебной части могут менять верхнюю границу шкалы на любое другое натуральное число, пересчитывая оценки пропорционально и округляя до целых. Нецелое число при округлении меняется до ближайшего целого; если дробная часть равна 0,5, направление округления учебная часть может выбирать любое, отдельно для каждой оценки. (Например, оценка 37 по шкале 100 после пересчета в шкалу 40 перейдёт в 37·40/100 = 14,8 и будет округлена до 15.)
Студенты Петя и Вася получили оценки a и b, отличные от 0 и 100. Докажите, что учебная часть может сделать несколько пересчётов так, чтобы у Пети стала оценка b, а у Васи – оценка a (пересчитываются одновременно обе оценки).
Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Аналогично определяются точки Ba, Bc, Ca и Cb. Точку D назовём хорошей, если точки Ab, Ac, Ba, Bc, Ca и Cb лежат на одной окружности.
Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника ABC?
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Обозначим через Ra, Rb, Rc и Rd радиусы описанных окружностей треугольников DAB, ABC, BCD, CDA. Докажите, что неравенство Ra < Rb < Rc < Rd выполняется тогда и только тогда, когда 180° – ∠CDB < ∠CAB < ∠CDB.
Все задачи автора Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 115898 |
|
|
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Обозначим через Ra, Rb, Rc и Rd радиусы описанных окружностей треугольников DAB, ABC, BCD, CDA. Докажите, что неравенство Ra < Rb < Rc < Rd выполняется тогда и только тогда, когда 180° – ∠CDB < ∠CAB < ∠CDB.
|
|
Решение |
Задача 109642 |
|
|
Даны многоугольник, прямая l и точка P на прямой l в общем положении (то есть все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают l в различных точках, отличных от P). Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из неё стороны многоугольника, пересекают l по разные стороны от точки P. Докажите, что точка P лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от l отмечено нечётное число вершин.
|
|
Решение |
Задача 109716 |
|
|
Пусть –1 < x1 < x2 < ... < xn < 1 и
Докажите, что если y1 < y2 < ... < yn, то
|
|
|
Решение |
Задача 109861 |
|
|
Числовая последовательность a0 , a1 , a2 , такова, что при всех неотрицательных m и n
( m n ) выполняется соотношение
Найдите a1995 , если a1=1 .
|
|
|
Решение |
Задача 109626 |
|
|
Докажите, что если числа a1, a2, ..., am отличны от нуля и для любого целого k = 0, 1, ..., n (n < m – 1) выполняется равенство:
a1 + a2·2k + a3·3k + ... + ammk = 0, то в последовательности a1, a2, ..., am есть по крайней мере n + 1 пара соседних чисел, имеющих разные знаки.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
