Каталог по авторам

Выбрано 12 задач

а) Квадрат разбит на прямоугольники. Цепочкой называется такое подмножество K множества этих прямоугольников, что существует сторона S квадрата, целиком закрытая проекциями прямоугольников из K, но при этом ни в какую точку S не проектируются внутренние точки двух прямоугольников из K (мы относим к прямоугольнику и его стороны). Доказать, что любые два прямоугольника разбиения входят в некоторую цепочку.

б) Аналогичная задача для куба, разбитого на прямоугольные параллелепипеды (в определении цепочки нужно заменить сторону на ребро).

Решение

Авторы: Крутовский Р., Фролов И.И.

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках L_a, L_b, L_c. Перпендикуляр, восставленный из точки L_a к BC, пересекает AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Точка O_a – центр описанной окружности треугольника AA_bA_c. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что O_a, O_b и O_c лежат на одной прямой.

Решение

Автор: Лопшиц А.Л.

Последовательность x₀, x₁, x₂, ... определена следующими условиями: x₀ = 1, x₁ = λ, для любого n > 1 выполнено равенство

(α + β)ⁿx_n = αⁿx_nx₀ + α^n–1βx_n–1x₁ + α^n–2β²x_n–2x₂ + ... + βⁿx₀x_n.

Здесь α, β, λ – заданные положительные числа. Найдите x_n и выясните, при каком n величина x_n наибольшая.

Решение

Авторы: Савин А.П., Паравян Н.А.

На стороне AB квадрата ABCD взята точка E, а на стороне CD – точка F, причём AE : EB = 1 : 2, а CF = FD.
Будут ли голубой и зелёный треугольники (см. рис.) подобны?

Решение

Автор: Григорян А.

Назовём квартетом четвёрку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными линиям сетки. (Например, на рисунке нарисованы три квартета.) Какое наибольшее число квартетов можно разместить в
а) квадрате 5×5;
б) прямоугольнике m×n клеток?

Решение

Авторы: Плотников М., Хилько Д., Кожевников П.А.

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$ . Пусть $E=AC\cap BD$ , $F=AD\cap BC$ . Биссектрисы углов $AFB$ и $AEB$ пересекают $CD$ в точках $X, Y$ . Докажите, что точки $A, B, X, Y$ лежат на одной окружности.

Решение

Автор: Лопшиц А.Л.

Разделим каждую сторону выпуклого четырёхугольника ABCD на три равные части и соединим отрезками соответствующие точки на противоположных сторонах (см. рис.). Докажите, что площадь "среднего" четырёхугольника в 9 раз меньше площади четырёхугольника ABCD.

Решение

Авторы: Лопшиц А.Л., Васильев Н.Б.

Пусть A', B', C', D', E', F' – середины сторон AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF. Известны площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB'. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

Решение

Автор: Хилько Д.

На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω₁ и ω₂ так, что прямая BA касается ω₁, прямая CA касается ω₂. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω₁, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω₂. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.

Решение

Автор: Рубанов И.С.

На доске нарисованы три четырёхугольника. Петя сказал: "На доске нарисованы по крайней мере две трапеции". Вася сказал: "На доске нарисованы по крайней мере два прямоугольника". Коля сказал: "На доске нарисованы по крайней мере два ромба". Известно, что один из мальчиков сказал неправду, а двое других – правду. Докажите, что среди нарисованных на доске четырёхугольников есть квадрат.

Решение

Автор: Иванов С.

Дана таблица n×n, заполненная числами по следующему правилу: в клетке, стоящей в i-й строке и j-м столбце таблицы записано число В таблице зачеркнули n чисел таким образом, что никакие два зачёркнутых числа не находятся в одном столбце или в одной строке. Докажите, что сумма зачёркнутых чисел не меньше 1.

Решение

Автор: Сергеев И.Н.

Докажите, что если в выпуклом пятиугольнике ABCDE ABC = ∠ADE и ∠AEC = ∠ADB, то ∠BAC = ∠DAE.

Решение

Задача 109483

Задача 111923

Задача 116232

Задача 52490

Задача 109533