Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны два единичных куба с общим центром. Всегда ли можно занумеровать вершины каждого из кубов от $1$ до $8$ так, чтобы расстояние между любыми двумя вершинами с одинаковыми номерами не превышало $\frac{4}{5}$? А чтобы не превышало $\frac{13}{16}$?

   Решение

---

Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
  а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
  б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.

   Решение

---

а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.

б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64740  (#9.7)

Темы:   [ Окружность Аполлония ] [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Птолемея ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

В треугольнике ABC  AL_a и AM_a – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ω_a – окружность, симметричная описанной окружности Ω_a треугольника AL_aM_a относительно середины BC. Окружность ω_b определена аналогично. Докажите, что ω_a и ω_b касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64748  (#10.7)

Темы:   [ Правильные многогранники (прочее) ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Каждый из двух правильных многогранников P и Q разрезали плоскостью на две части. Одну из частей P и одну из частей Q приложили друг к другу по плоскости разреза. Может ли получиться правильный многогранник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть граней?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65008  (#7)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Удвоение медианы ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане BM. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин A и C (или их продолжения), в точках K и N. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABK и CBN соответственно. Докажите, что  O₁M = O₂M.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64706  (#8.8)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Биссектрисы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. На отрезках A₁I и B₁I построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами A₂ и B₂, лежащими на прямой AB. Известно, что прямая CI делит отрезок A₂B₂ пополам. Верно ли, что треугольник ABC – равнобедренный?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64741  (#9.8)

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Наименьший или наибольший угол ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

На доске нарисован правильный многоугольник. Володя хочет отметить k точек на его периметре так, чтобы не существовало другого правильного многоугольника (не обязательно с тем же числом сторон), также содержащего отмеченные точки на своем периметре.
Найдите наименьшее k, достаточное для любого исходного многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями