Версия для печати
Убрать все задачи

---

Выпуклые четырёхугольники ABCD и PQRS вырезаны соответственно из бумаги и картона. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
    1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
    2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.
  а) Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны,
либо диагонали перпендикулярны.
  б) Докажите, что если ABCD – параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхугольник.

   Решение

Страница: << 117 118 119 120 121 122 123 >> [Всего задач: 1984]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78520

Темы:   [ Системы показательных уравнений и неравенств ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Решить в положительных числах систему:

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78522

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Известно, что при любом целом  K ≠ 27  число  a – K³  делится на  27 – K. Найти a.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78524

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Гомотетичные многоугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

В четырёхугольнике ABCD опущены перпендикуляры AM и CP на диагональ BD, а также BN и DQ на диагональ AC.
Доказать, что четырёхугольники ABCD и MNPQ подобны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78526

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Известно, что при любом целом  K ≠ 27  число  a – K¹⁹⁶⁴  делится без остатка на  27 – K. Найти a.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78535

Темы:   [ Симметричная стратегия ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На квадратном поле размерами 99×99, разграфленном на клетки размерами 1×1, играют двое. Первый игрок ставит крестик на центр поля; вслед за этим второй игрок может поставить нолик на любую из восьми клеток, окружающих крестик первого игрока. После этого первый ставит крестиктна любое из полей рядом с уже занятыми и т.д. Первый игрок выигрывает, если ему удастся поставить крестик на любую угловую клетку. Доказать, что при любой игре второго игрока первый всегда может выиграть.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 117 118 119 120 121 122 123 >> [Всего задач: 1984]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями