Версия для печати
Убрать все задачи

---

По кругу лежит  $2n + 1$  монета орлом вверх. Двигаясь по часовой стрелке, делают  $2n + 1$  переворот: переворачивают какую-то монету, одну монету пропускают и переворачивают следующую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и переворачивают следующую, и т.д., наконец пропускают 2n монет и переворачивают следующую. Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх.

   Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 105050

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов.
Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105074

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Длины оснований трапеции равны m см и n см (m и n – натуральные числа,  m ≠ n).  Докажите, что трапецию можно разрезать на равные треугольники.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105127

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Разложение на множители ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство  a³ + b³ + 3abc > c³.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105181

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, а её сумма – степень двойки.
Докажите, что количество членов прогрессии тоже степень двойки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108001

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников  ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями