Версия для печати
Убрать все задачи

---

В равнобедренном треугольнике ABC  (AC = BC)  угол при вершине C равен 20°. Биссектрисы углов A и B пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках A₁ и B₁. Докажите, что треугольник A₁OB₁ (где O – центр описанной окружности треугольника ABC) является равносторонним.

   Решение

---

В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

   Решение

---

Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98065  (#1)

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Приближения чисел ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Дано:

Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108047  (#2)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Вписанный угол (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На дуге AC описанной окружности правильного треугольника ABC взята точка M, отличная от C, P – середина этой дуги. Пусть N – середина хорды BM, K – основание перпендикуляра, опущенного из точки P на MC. Докажите, что треугольник ANK правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98077  (#3)

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Метод координат на плоскости ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Рассматривается конечное множество M единичных квадратов на плоскости. Их стороны параллельны осям координат (разрешается, чтобы квадраты пересекались). Известно, что для любой пары квадратов расстояние между их центрами не больше 2. Докажите, что существует единичный квадрат (не обязательно из множества M) со сторонами, параллельными осям, пересекающийся хотя бы по точке с каждым квадратом множества M.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98078  (#4)

Темы:   [ Системы точек ] [ Соображения непрерывности ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На плоскости расположено 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, из них 10 синих и 10 красных.
Докажите, что можно провести прямую, по каждую сторону которой лежит пять синих и пять красных точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108570  (#5)

Темы:   [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника ABC, опущенной на его боковую сторону.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями