Версия для печати
Убрать все задачи

---

Число $2021 = 43\cdot47$ составное. Докажите, что если вписать в числе $2021$ сколько угодно восьмёрок между $20$ и $21$, тоже получится составное число.

   Решение

---

Два человека шли по прямой дорожке навстречу друг другу с постоянными скоростями, но один – медленно, другой – быстро. Одновременно каждый отпустил вперёд от себя собаку (собаки бежали с одной и той же постоянной скоростью). Каждая собака добежала до другого хозяина и возвратилась к своему. Чья собака вернулась раньше – быстрого хозяина или медленного?

   Решение

Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116383

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Натуральные числа  a < b < c  таковы, что  b + a  делится на  b – a,  а  c + b  делится на  c – b.  Число a записывается 2011, а число b – 2012 цифрами. Сколько цифр в числе c?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116386

Темы:   [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

На стороне AB треугольника ABC взята такая точка P, что  AP = 2PB,  а на стороне AC – ее середина, точка Q. Известно, что  CP = 2PQ.
Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116389

Тема:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Известно, что  0 < a, b, c, d < 1  и  abcd = (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d).  Докажите, что   (a + b + c + d) – (a + c)(b + d) ≥ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116391

Темы:   [ Системы точек ] [ Геометрические неравенства (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Петя отметил на плоскости несколько (больше двух) точек, все расстояния между которыми различны. Пару отмеченных точек  (A, B)  назовём необычной, если A – самая дальняя от B отмеченная точка, а B – ближайшая к A отмеченная точка (не считая самой точки A). Какое наибольшее возможное количество необычных пар могло получиться у Пети?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116399

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Теория алгоритмов ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

100 пиратов сыграли в карты на золотой песок, а потом каждый посчитал, сколько он в сумме выиграл либо проиграл. У каждого проигравшего хватает золота, чтобы расплатиться. За одну операцию пират может либо раздать всем поровну золота, либо получить с каждого поровну золота. Докажите, что можно за несколько таких операций добиться того, чтобы каждый получил (в сумме) свой выигрыш либо выплатил проигрыш. (Разумеется, общая сумма выигрышей равна сумме проигрышей.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями