Страница:
<< 56 57 58 59
60 61 62 >> [Всего задач: 371]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8,9,10,11
|
Бабе-Яге подарили большие песочные часы на 5 минут и маленькие – на 2 минуты. Зелье должно непрерывно кипеть ровно 8 минут. Когда оно закипело, весь песок в больших часах находился в нижней половине, а в маленьких – какая-то (неизвестная) часть песка в верхней, а остальная часть – в нижней половине. Помогите Бабе-Яге отмерить ровно 8 минут.
(Песок все время сыплется с постоянной скоростью. На переворачивание время не тратится.)
Решение
Пусть в начале в верхней половине маленьких часов было песка на x минут.
С начала процесса прошло
x +
x + (2 –
x) + (2 –
x) = 4 минуты, а песок в обоих часах весь в нижней половине. Остается отмерить 4 минуты – это легко сделать при помощи 2-минутных часов.
Решение не единственно. Но можно показать, что в любом решении необходимо сразу запустить большие часы.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Для того, чтобы застеклить 15 окон различных размеров и
форм, заготовлено 15 стекол в точности по окнам (окна такие, что
в каждом окне должно быть одно стекло). Стекольщик, не зная, что
стекла подобраны, работает так: он подходит к очередному окну и
перебирает неиспользованные стекла до тех пор, пока не найдет
достаточно большое (то есть либо в точности подходящее, либо
такое, из которого можно вырезать подходящее), если же такого
стекла нет, то переходит к следующему окну, и так, пока не
обойдет все окна. Составлять стекло из нескольких частей нельзя.
Какое максимальное число окон может остаться незастекленными?
Решение
Покажем сначала, что если в какой-либо момент осталось
не меньше 8 окон (и, соответственно, не меньше 8 стекол), то
стекло для какого-нибудь окна из оставшихся можно подобрать.
Действительно, разобрано не больше семи стекол, значит хотя бы
одно из восьми стекол, предназначавшихся заранее для восьми
оставшихся окон, осталось. Его-то и можно вставить в «свое"
окно. Поэтому больше семи окон остаться незастекленными не может.
Теперь покажем, что семь окон могут остаться незастекленными. Это
произойдет, например, в следующем случае. Стекла имеют такие
размеры, что для любых двух одно может быть получено из другого
вырезанием (заметим, что условие задачи этого не требует). Таким
образом, все стекла можно упорядочить от самого маленького до
самого большого так, что любое меньшее может быть «вырезано" из
большего. Соответствующим образом упорядочиваются и окна.
Предположим, стекольщик подходит к окнам в порядке возрастания их
размера (от самого маленького к самому большому), а стекла
подбирает в порядке убывания размера. При этом ему удастся
застеклить 8 самых маленьких окон, восьмое окно получит «свое"
стекло. Останутся незастекленными 7 самых больших окон и
неиспользованными 7 самых маленьких стекол.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Через центр окружности ω
1 проведена окружность ω
2;
A и B — точки пересечения окружностей. Касательная к
окружности ω
2 в точке B пересекает окружность ω
1
в точке C. Докажите, что AB = BC.
Решение
Пусть O — центр окружности ω
1 (см. рис.).
Тогда в силу симметрии дуги AO и OB окружности ω
2
равны. Кроме того, угол OBC равен половине дуги OB, как угол
между касательной и хордой, а угол OBA равен половине дуги OA,
как вписанный. Поэтому углы OBC и OBA равны, и
прямые BC и BA симметричны относительно радиуса OB
окружности ω
1. Значит, при этой симметрии их точки A и
C пересечения с окружностью ω
1 переходят друг в друга.
Отсюда следует, что AB = BC.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
|
Между соседними лагерями 1 день пути. Экспедиции
требуется перенести 1 банку консервов в лагерь, находящийся в
5 днях пути от базового и вернуться обратно. При этом:
— каждый член экспедиции может нести с собой не более 3 банок
консервов;
— за 1 день он съедает 1 банку консервов;
— оставлять консервы можно только в лагерях.
Какое наименьшее количество банок консервов придется взять из
базового лагеря для этой цели?
Решение
Предположим, что в каждом лагере имеется торговая палатка, где
продаются доставленные консервы. Пусть цена одной банки в базовом
лагере равна одному рублю, а в каждом следующем — в три раза
больше, чем в предыдущем. В таком случае цена банок, доставленных
в любой из лагерей не меньше, чем цена банок, взятых для этого из
базового лагеря. Действительно, для переноски банки из некоторого
лагеря в следующий мы должны взять по крайней мере три банки, две
из которых будут съедены на пути туда и обратно соответственно.
Стоимость банки в пятом лагере будет при этом 3
5 = 243 руб.,
значит из базового лагеря нужно взять не менее 243 банок.
Докажем теперь, что 243 банок хватит. Для этого из базового лагеря
выходит 81 член экспедиции. 54 человека из них,
принеся по банке в первый лагерь, сразу возвращаются. Остальные 27
человек, взяв по три банки, идут во второй лагерь. 27 банок при
этом остаются в первом лагере, чтобы обеспечить им возвращение из
первого лагеря в базовый. Так происходит в каждом лагере. Две
трети дошедших участников возвращаются, а треть — идет дальше.
Таким образом, из четвертого лагеря в пятый выйдет один человек.
Он и принесет вожделенную банку в пятый лагерь.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Даны две окружности и точка. Построить отрезок, концы
которого лежат на данных окружностях, а середина — в данной
точке.
Решение
При центральной симметрии относительно середины
отрезка один его конец переходит в другой. На этом очевидном
замечании и базируется требуемое построение. Отобразим одну из
данных окружностей симметрично относительно данной точки
(см. рис.). Точка пересечения образа этой окружности со второй
окружностью и будет концом искомого отрезка. Отразив один конец
относительно середины, находим второй конец.
Задача может не иметь решений или иметь одно, два или
бесконечно много решений в зависимости от количества точек
пересечения образа первой окружности со второй окружностью
(бесконечно много решений будет в случае, если данные окружности
симметричны относительно данной точки). (Если данные окружности
совпадают, то решений бесконечно много когда точка – их центр,
решение единственно для любой другой точки внутри окружностей, и
решений нет для точки вне их.)
Страница:
<< 56 57 58 59
60 61 62 >> [Всего задач: 371]
Фильтр
