Страница: << 173 174 175 176 177 178 179 >> [Всего задач: 1982]
На плоскости даны три точки. Из них выбираются любые две, строится серединный
перпендикуляр к отрезку, их соединяющему, и все точки отражаются относительно
этой прямой, затем из всех точек (старых и новых) снова выбираются какие-то две
точки и вся процедура повторяется. Так делается бесконечно много раз. Доказать,
что в плоскости найдётся такая прямая, что все полученные точки будут лежать
по одну сторону от нее.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Разобьём все натуральные числа на группы так, чтобы в первой группе было одно
число, во второй — два, в третьей — три и т.д. Можно ли это сделать таким
образом, чтобы из суммы чисел в каждой группе нацело извлекался корень седьмой
степени?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
На бумажной ленте напечатаны автобусные билеты с номерами от 000 000 до
999 999. Затем синей краской пометили те билеты, у которых сумма цифр,
стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах. Какая
будет наибольшая разность между номерами двух соседних синих билетов?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Страна Фарра расположена на
1 000 000 000 островов. Между некоторыми
островами каждый день курсируют пароходы. Маршруты пароходов устроены так, что
с каждого острова можно попасть на любой другой (возможно, за несколько дней).
Шпион и майор Пронин могут совершать не более одного рейса в день на пароходе и
не имеют никакой другой возможности попасть с острова на остров. Шпион не ездит
на пароходе 13 числа каждого месяца, майор Пронин не суеверен и всегда знает,
где находится шпион. Доказать, что майор сможет поймать шпиона (т.е. оказаться с
ним на одном острове).
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
На окружности радиуса 1 отмечена точка O и из неё циркулем делается
засечка вправо радиусом l. Из полученной точки O1 в ту же сторону тем же
радиусом делается вторая засечка, и так делается 1968 раз. После этого
окружность разрезается во всех 1968 засечках, и получается 1968 дуг. Сколько различных длин дуг может при этом получиться?
Страница: << 173 174 175 176 177 178 179 >> [Всего задач: 1982]
Фильтр
