Версия для печати
Убрать все задачи

---

В плоскости выпуклого четырёхугольника ABCD расположена точка P. Проведены биссектрисы PK,PL, PM и PN треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно.
  а) Найдите хотя бы одну такую точку P, для которой четырёхугольник KLMN – параллелограмм.
  б) Найдите все такие точки.

   Решение

---

Найти все действительные решения системы уравнений
    x² + y² + z² = 1,
    x³ + y³ + z³ = 1.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57536  (#11.016)

Темы:   [ Экстремальные точки треугольника ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM была бы наименьшей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57537  (#11.017)

Темы:   [ Экстремальные точки треугольника ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Теорема синусов ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Наибольшая или наименьшая длина ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Из точки M описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ максимальна?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57538  (#11.018)

Темы:   [ Экстремальные точки треугольника ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Неравенство Коши ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Внутри треугольника ABC взята точка O. Пусть d_a, d_b, d_c – расстояния от нее до прямых BC, CA, AB.
При каком положении точки O произведение d_ad_bd_c будет наибольшим?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57539  (#11.019)

Темы:   [ Экстремальные точки треугольника ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Точки A₁, B₁ и C₁ взяты на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC, причём отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке M.
При каком положении точки M величина  ^MA₁/_AA1·^MB₁/_BB1·^MC₁/_CC1 максимальна?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57540  (#11.020)

Темы:   [ Экстремальные точки треугольника ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Из точки M, лежащей внутри данного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MA₁, MB₁, MC₁ на прямые BC, CA, AB. Для каких точек M внутри данного треугольника ABC величина     принимает наименьшее значение?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями