Версия для печати
Убрать все задачи

---

Рассматривается последовательность квадратов на плоскости. Первые два квадрата со стороной 1 расположены рядом (второй правее) и имеют одну общую вертикальную сторону. Нижняя сторона третьего квадрата со стороной 2 содержит верхние стороны первых двух квадратов. Правая сторона четвёртого квадрата со стороной 3 содержит левые стороны первого и третьего квадратов. Верхняя сторона пятого квадрата со стороной 5 содержит нижние стороны первого, второго и четвертого квадратов. Далее двигаемся по спирали бесконечно, обходя рассмотренные квадраты против часовой стрелки так, что сторона нового квадрата составлена из сторон трёх ранее рассмотренных. Докажите, что центры всех этих квадратов принадлежат двум прямым.

 

   Решение

Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65563

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Двое играют в следующую игру. Есть кучка камней. Первый каждым своим ходом берет 1 или 10 камней. Второй каждым своим ходом берёт m или n камней. Ходят по очереди, начинает первый. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Известно, что при любом начальном количестве камней первый всегда может играть так, чтобы выиграть (при любой игре второго). Какими могут быть m и n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65567

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Одновременно из деревень A и Б навстречу друг другу вышли Аня и Боря (их скорости постоянны, но не обязательно одинаковы). Если бы Аня вышла на 30 минут раньше, то они встретились бы на 2 км ближе к деревне Б. Если бы Боря вышел на 30 минут раньше, то встреча состоялась бы ближе к деревне A. На сколько?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65568

Тема:   [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Пусть N – натуральное число. Докажите, что в десятичной записи либо числа N, либо числа 3N найдётся одна из цифр 1, 2, 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65569

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На первой горизонтали шахматной доски стоят 8 чёрных ферзей, а на последней – 8 белых ферзей. За какое минимальное число ходов белые ферзи могут обменяться местами с чёрными? Ходят белые и чёрные по очереди, по одному ферзю за ход.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65570

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Дан квадрат ABCD, M и N – середины сторон BC и AD. На продолжении диагонали AC за точку A взяли точку K. Отрезок KM пересекает сторону AB
в точке L. Докажите, что углы KNA и LNA равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями