Страница: << 121 122 123 124 125 126 127 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78804

Темы:   [ Системы показательных уравнений и неравенств ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8

Дано 17 натуральных чисел: a₁, a₂, ..., a₁₇. Известно, что     Доказать, что  a₁ = a₂ = ... = a₁₇.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78806

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Четность и нечетность ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Каждая вершина правильного 13-угольника покрашена либо в чёрный, либо в белый цвет.
Доказать, что существуют три точки одного цвета, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78808

Тема:   [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 9

В некоторых клетках квадратной таблицы n×n стоят звёздочки. Известно, что если вычеркнуть любой набор строк (только не все), то найдётся столбец ровно с одной невычеркнутой звёздочкой. (В частности, если строки совсем не вычёркивать, то столбец ровно с одной звёздочкой существует.) Доказать, что если вычеркнуть любой набор столбцов (только не все), то найдётся строка ровно с одной невычеркнутой звёздочкой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78811

Тема:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Имеется набор натуральных чисел, причём сумма любых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из набора равна 100.
Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78814

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

В клетках шахматной доски размером n×n расставлены числа: на пересечении k-й строки и m-го столбца стоит число a_km. При любой расстановке на этой доске n ладей, при которой никакие две из них не бьют друг друга, сумма закрытых чисел равна 1972. Доказать, что существует два таких набора чисел x₁, x₂, ..., x_n и y₁, ..., y_n, что при всех k и m выполняется равенство  a_km = x_k + y_m.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 121 122 123 124 125 126 127 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями