В клетках таблицы 3×3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно?

Придумайте десятизначное число, в записи которого нет нулей, такое что при прибавлении к нему произведения его цифр получается число с таким же произведением цифр.

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 1982]      

Длины оснований трапеции равны m см и n см (m и n – натуральные числа,  m ≠ n).  Докажите, что трапецию можно разрезать на равные треугольники.

Решение

Пусть  m > n.  Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения и разобьём каждую сторону получившегося треугольника на m равных частей. Через точки деления проведём прямые, параллельные сторонам треугольника (см. рис.), и по теореме Фалеса получим разбиение треугольника на равные маленькие треугольники. Верхнее основание трапеции является одной из проведённых линий, так как его длина выражается целым числом сантиметров. Таким образом, мы получили разбиение трапеции на равные треугольники.

Прислать комментарий

Решите уравнение  (x + 1)⁶³ + (x + 1)⁶²(x – 1) + (x + 1)⁶¹(x – 1)² + ... + (x – 1)⁶³ = 0.

Решение

Умножив обе части уравнения на  (x + 1) – (x – 1) = 2,  получим  (x + 1)⁶⁴ – (x – 1)⁶⁴ = 0.  Отсюда  (x + 1) = ± (x – 1),  то есть  x = 0.

Ответ

x = 0.

Прислать комментарий

Наибольший общий делитель натуральных чисел m и n равен 1. Каково наибольшее возможное значение  НОД(m + 2000n, n + 2000m)?

Решение

  Пусть  a = 2000m + n,  b = 2000n + m,  d = НОД(a, b).  Тогда d делит также числа  2000a – b = (2000² – 1)m  и  2000b – a = (2000² – 1)n.  Поскольку m и n взаимно просты, то d делит  2000² – 1.
  С другой стороны, при  m = 2000² – 2000 – 1,  n = 1,  получаем  a = (2000² – 1)(2000 – 1),  b = 2000² – 1 = d.

Ответ

3999999.

Прислать комментарий

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 200 и высотой 100 клеток. Его закрашивают по клеткам, начав с левой верхней и идя по спирали (дойдя до края или уже закрашенной части, поворачивают направо, см. рис.). Какая клетка будет закрашена последней? (Укажите номер её строки и столбца. Например, нижняя правая клетка стоит в 100-й строке и 200-м столбце.)

Решение

Сначала будет закрашен наружный слой клеток, после чего останется прямоугольник 98×198 клеток. Этот прямоугольник также будет закрашиваться по спирали; после покраски его наружного слоя останется прямоугольник 96×196 клеток и так далее. После окраски 49 слоёв незакрашенным останется прямоугольник 2×102, расположенный в строках 50-51 и столбцах 50-151. Последней будет закрашена нижняя левая клетка этого прямоугольника.

Ответ

Клетка, расположенная в строке 51 и столбце 50.

Прислать комментарий

Можно ли расставить охрану вокруг точечного объекта так, чтобы ни к объекту, ни к часовым нельзя было незаметно подкрасться? (Каждый часовой стоит неподвижно и видит на 100 м строго вперёд.)

Решение

Ответ: да, можно. На рисунке показан пример расположения восьми часовых, удовлетворяющий условию. Кружочками обозначены часовые, каждая из стрелок указывает направление, в котором смотрит часовой.

Прислать комментарий

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 1982]