- Региональный этап (22 задачи)
- Заключительный этап (21 задача)
Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел a и b ( a>b ) хотя бы одно из чисел a+b или a-b тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.
Пусть K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, AD выпуклого четырёхугольника ABCD; отрезки KM и LN пересекаются в точке O.
Докажите, что SAKON + SCLOM = SBKOL + SDNOM.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD: ∠ВАС = 20°, ∠ВСА = 35°, ∠ВDС = 40°, ∠ВDА = 70°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.
На некоторых клетках шахматной доски лежит по конфете. Известно, что в каждой строке, в каждом столбце и в каждой диагонали (любой длины, даже состоящей из одной клетки) лежит чётное количество конфет (возможно, ни одной). Какое максимальное количество конфет может лежать на доске?
Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число.
Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором – 1?
Найдите все простые числа p, q и r, для которых выполняется равенство: p + q = (p – q)r.
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках A, B, C и D, как показано на рисунке.
Как расположить в пространстве спичечный коробок, чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую площадь?
Для некоторых натуральных чисел a, b, c и d выполняются равенства a/c = b/d = ab+1/cd+1. Докажите, что a = c и b = d.
Докажите, что остроугольный треугольник полностью покрывается тремя квадратами, построенными на его сторонах как на диагоналях.
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причём AO = CO. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если а) AM = CN; б) BM = BN?
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
Задача 109543 (#93.4.9.1) |
|
|
Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1).
|
|
Решение |
Задача 109544 (#93.4.9.2) |
|
|
Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.
|
|
|
Решение |
Задача 108229 (#93.4.9.3) |
|
|
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причём AO = CO. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если а) AM = CN; б) BM = BN?
|
|
Решение |
Задача 109546 (#93.4.9.4) |
|
|
В колоде n карт. Часть из них лежит рубашками вверх, остальные – рубашками вниз. За один ход разрешается взять несколько карт сверху, перевернуть полученную стопку и снова положить ее сверху колоды. За какое наименьшее число ходов при любом начальном расположении карт можно добиться того, чтобы все карты лежали рубашками вниз?
|
|
|
Решение |
Задача 109547 (#93.4.9.5) |
|
|
Докажите, что уравнение x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1) не имеет решений в целых числах.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
