-
Региональный этап
(22 задачи)
Заключительный этап
(21 задача)
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Докажите, что x + 1/x ≥ 2 при x > 0.
РешениеВ квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник
вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).
Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не
менее чем 499 из этих треугольников.
РешениеИз точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Докажите, что если из точки M отрезок AO виден под углом 90o, то отрезки OB и OC видны из нее под равными углами.
РешениеСм. задачу 3 для 7 класса.
РешениеТочка A расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что: а) за 25 отражений точку A можно к загнатьк внутрь данного круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.
РешениеДан остроугольный треугольник ABC. Его покрывают тремя кругами, центры которых лежат в вершинах, а радиусы равны высотам, проведённым из этих вершин. Доказать, что каждая точка треугольника покрыта хотя бы одним из кругов.
РешениеНа плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.
РешениеДана прямоугольная полоска размером 12×1. Oклейте этой полоской в два слоя куб с ребром 1 (полоску можно сгибать, но нельзя надрезать).
РешениеВ НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее x часов (x > 4). Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от x)?
РешениеКакое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?
Решение
Задачи
Задача 109527 (#93.5.9.7) |
|
|
Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?
|
|
|
Решение |
Задача 109528 (#93.5.9.8) |
|
|
На доске написано n выражений вида *x² + *x + * = 0 (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?
|
|
Решение |
Задача 109515 (#93.5.10.1) |
|
|
Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.
|
|
|
Решение |
Задача 109516 (#93.5.10.2) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 109523 (#93.5.10.3) |
|
|
Квадратный трёхчлен f(x) разрешается заменить на один из
трёхчленов или
Можно ли с помощью таких операций из квадратного трёхчлена x² + 4x + 3 получить трёхчлен x² + 10x + 9?
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]
