Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел делится на 4.

   Решение

Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём  ace ≠ 0.  Известно, что значения выражений  |ax + b| + |cx + d|  и  |ex + f |  равны при всех значениях x.
Докажите, что  ad = bc.

   Решение

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

   Решение

По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой – цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой – цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел.

   Решение

Известно, что существует число S , такое, что если a+b+c+d=S и +++=S ( a , b , c , d отличны от нуля и единицы), то + + += S . Найти S .

   Решение

Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.

   Решение

Докажите, что если a, b, c – положительные числа и  ab + bc + ca > a + b + c,  то  a + b + c > 3.

   Решение

Мороженое стоит 2000 рублей. У Пети имеется  400⁵ – 399²·(400³ + 2·400² + 3·400 + 4)  рублей. Достаточно ли у Пети денег на мороженое?

   Решение

В некотором государстве было 2004 города, соединённых дорогами так, что из каждого города можно было добраться до любого другого. Известно, что при запрещённом проезде по любой из дорог по-прежнему из каждого города можно было добраться до любого другого. Министр транспорта и министр внутренних дел по очереди вводят на дорогах, пока есть возможность, одностороннее движение (на одной дороге за ход), причём министр, после хода которого из какого-либо города стало невозможно добраться до какого-либо другого, немедленно уходит в отставку. Первым ходит министр транспорта.
Может ли кто-либо из министров добиться отставки другого независимо от его игры?

   Решение

Докажите, что для любого многочлена P с целыми коэффициентами и любого натурального k существует такое натуральное n, что  P(1) + P(2) + ... + P(n)  делится на k.

   Решение

Вписанная окружность σ треугольника ABC касается его сторон BC , AC , AB в точках A' , B' , C' соответственно. Точки K и L на окружности σ таковы, что AKB'+ BKA'= ALB'+ BLA'=180^o . Докажите, что прямая KL равноудалена от точек A' , B' , C' .

   Решение

Пусть I_A и I_B – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и CA треугольника ABC соответственно, а P – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников I_ACP и I_BCP, совпадает с центром окружности Ω.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

Прислать комментарий

Решение

Пусть I_A и I_B – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и CA треугольника ABC соответственно, а P – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников I_ACP и I_BCP, совпадает с центром окружности Ω.

Прислать комментарий

Решение

Даны многочлены P(x), Q(x). Известно, что для некоторого многочлена R(x, y) выполняется равенство  P(x) – P(y) = R(x, y)(Q(x) – Q(y)).
Докажите, что существует такой многочлен S(x), что  P(x) = S(Q(x)).

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольной таблице 9 строк и 2004 столбца. В её клетках расставлены числа от 1 до 2004, каждое – по 9 раз. При этом в каждом столбце числа различаются не более чем на 3. Найдите минимальную возможную сумму чисел в первой строке.

Прислать комментарий

Решение

Пусть M={x₁, .., x30} – множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; A_n ( 1 n 30 ) – сумма всевозможных произведений различных n элементов множества M . Докажите, что если A15>A10 , то A₁>1 .

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]