Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть A₀ – середина стороны BC треугольника ABC, а A' – точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность Ω с центром в A₀ и проходящую через A'. На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если Ω касается описанной окружности на дуге BC, не содержащей A, то еще одна из построенных окружностей касается описанной окружности.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110128  (#03.4.10.5)

Темы:   [ Методы решения задач с параметром ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Найдите все x, при которых уравнение  x² + y² + z² + 2xyz = 1  (относительно z) имеет действительное решение при любом y.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110129  (#03.4.10.6)

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Углы между биссектрисами ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Формула Герона ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть A₀ – середина стороны BC треугольника ABC, а A' – точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность Ω с центром в A₀ и проходящую через A'. На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если Ω касается описанной окружности на дуге BC, не содержащей A, то еще одна из построенных окружностей касается описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110130  (#03.4.10.7)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Десятичная система счисления ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Докажите, что из произвольного множества трёхзначных чисел, включающего не менее четырёх чисел, взаимно простых в совокупности, можно выбрать четыре числа, также взаимно простых в совокупности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110131  (#03.4.10.8)

Темы:   [ Взвешивания ] [ Правило произведения ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В наборе из 17 внешне одинаковых монет две фальшивых, отличающихся от остальных по весу. Известно, что суммарный вес двух фальшивых монет вдвое больше веса настоящей. Всегда ли можно ли определить пару фальшивых монет, совершив пять взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Определять, какая из фальшивых монет тяжелее, не требуется.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110120  (#03.4.11.1)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Найдите все простые p, для каждого из которых существуют такие натуральные x и y, что  p^x = y³ + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями