Версия для печати
Убрать все задачи

---

Белая фигура «жук» стоит в угловой клетке доски $1000\times n$, где $n$ — нечётное натуральное число, большее $2020$. В двух ближайших к ней углах доски стоят два чёрных шахматных слона. При каждом ходе жук или переходит на клетку, соседнюю по стороне, или ходит как шахматный конь. Жук хочет достичь противоположного угла доски, не проходя через клетки, занятые или атакованные слоном, и побывав на каждой из остальных клеток ровно по одному разу. Покажите, что количество путей, по которым может пройти жук, не зависит от $n$.

   Решение

---

Дан остроугольный треугольник ABC; AA₁, BB₁ – его высоты. Из точки A₁ опустили перпендикуляры на прямые AC и AB, а из точки B₁ опустили перпендикуляры на прямые BC и BA. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.

   Решение

Страница: << 246 247 248 249 250 251 252 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116247

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В стране две столицы и несколько городов, некоторые из них соединены дорогами. Среди дорог есть платные. Известно, что на любом пути из южной столицы в северную имеется не меньше 10 платных дорог. Докажите, что все платные дороги можно раздать 10 компаниям так, чтобы на любом пути из южной столицы в северную имелись дороги каждой из компаний.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116271

Темы:   [ Пятиугольники ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Четыре перпендикуляра, опущенные из вершин выпуклого пятиугольника на противоположные стороны, пересекаются в одной точке.
Докажите, что пятый такой перпендикуляр тоже проходит через эту точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116277

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Средняя линия трапеции ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дан остроугольный треугольник ABC; AA₁, BB₁ – его высоты. Из точки A₁ опустили перпендикуляры на прямые AC и AB, а из точки B₁ опустили перпендикуляры на прямые BC и BA. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116278

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Два муравья проползли каждый по своему замкнутому маршруту на доске 7×7. Каждый полз только по сторонам клеток доски и побывал в каждой из 64 вершин клеток ровно один раз. Каково наименьшее возможное число таких сторон, по которым проползали и первый, и второй муравьи?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116282

Темы:   [ Прямая призма ] [ Свойства сечений ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

От балки в форме треугольной призмы с двух сторон отпилили (плоской пилой) по куску. Спилы не задели ни оснований, ни друг друга.
  а) Могут ли спилы быть подобными, но не равными треугольниками?
  б) Может ли один спил быть равносторонним треугольником со стороной 1, а другой – равносторонним треугольником со стороной 2?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 246 247 248 249 250 251 252 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями