Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 2. Вписанный угол
>>
параграф 6. Вписанный угол и подобные треугольники
Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причём O не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность Ω1 треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность Ω2 треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.
В ряд стоят $9$ вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две из которых не находятся на одной высоте. Жук ползёт снизу вверх; когда он встречает палочку, он переползает по ней на соседний столбик и продолжает ползти вверх. Известно, что если жук начинает внизу первого столбика, то он закончит свой путь на девятом столбике. Всегда ли можно убрать одну из палочек так, чтобы жук в конце пути оказался наверху пятого столбика?
Однажды барон Мюнхгаузен, вернувшись с прогулки, рассказал, что половину пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а половину времени, затраченного на прогулку, – со скоростью 6 км/ч. Не ошибся ли барон?
Дано уравнение xn – a1xn–1 – a2xn–2 – ... – an–1x – an = 0, где a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, an ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.
а) Докажите, что расстояния от любой точки параболы до фокуса и до директрисы
равны.
б) Докажите, что множество точек, для которых расстояния до некоторой
фиксированной точки и до некоторой фиксированной прямой равны, является
параболой.
Пусть f(x) – многочлен степени n с корнями α1, ..., αn. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек α1, ..., αn на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.
При каких p и q двучлен x4 + 1 делится на x² + px + q?
На плоскости дано n > 4 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что существует не менее различных выпуклых четырёхугольников с вершинами в этих точках.
В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?
Учительница продиктовала Вовочке угловые коэффициенты и свободные члены трёх разных линейных функций, графики которых параллельны. Невнимательный Вовочка при записи каждой из функций поменял местами угловой коэффициент и свободный член и построил графики получившихся функций. Сколько могло получиться точек, через которые проходят хотя бы два графика?
В треугольнике ABC точка E — середина
стороны BC, точка D лежит на стороне AC, AC = 1,
BAC = 60o,
ABC = 100o,
ACB = 20o
и
DEC = 80o (рис.). Чему равна сумма площади
треугольника ABC и удвоенной площади треугольника CDE?
Известно, что выражение 14x + 13y делится на 11 при некоторых целых x и y. Докажите, что 19x + 9y также делится на 11 при таких x и y.
Прямая, проходящая через центр I вписанной окружности треугольника ABC, перпендикулярна AI и пересекает стороны AB и AC в точках C' и B' соответственно. В треугольниках BC'I и CB'I провели высоты C'C1 и B'B1 соответственно. Докажите, что середина отрезка B1C1 лежит на прямой, проходящей через точку I и перпендикулярной BC.
На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $M$ и $K$. Отрезки $CM$ и $AK$ пересекаются в точке $E$. Оказалось, что $\angle MEA = \angle ABC$. Докажите, что середины всевозможных отрезков $MK$ лежат на одной прямой.
Прямая l касается окружности с диаметром AB
в точке C; M и N — проекции точек A и B на прямую l,
D — проекция точки C на AB. Докажите, что
CD2 = AM . BN.
Задачи Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]
Задача 56593 |
|
|
На окружности взяты точки A, B, C и D. Прямые AB
и CD пересекаются в точке M. Докажите, что
AC . AD/AM = BC . BD/BM.
|
|
Решение |
Задача 56594 |
|
|
На окружности даны точки A, B и C, причем точка B
более удалена от прямой l, касающейся окружности в точке A,
чем C. Прямая AC пересекает прямую, проведенную через точку B
параллельно l, в точке D. Докажите, что
AB2 = AC . AD.
|
|
|
Решение |
Задача 56595 |
|
|
Прямая l касается окружности с диаметром AB
в точке C; M и N — проекции точек A и B на прямую l,
D — проекция точки C на AB. Докажите, что
CD2 = AM . BN.
|
|
Решение |
Задача 56596 |
|
|
В треугольнике ABC проведена высота AH, а из
вершин B и C опущены перпендикуляры BB1 и CC1 на
прямую, проходящую через точку A. Докажите,
что
ABC
HB1C1.
|
|
|
Решение |
Задача 56597 |
|
|
На дуге BC окружности, описанной около равностороннего
треугольника ABC, взята произвольная точка P.
Отрезки AP и BC пересекаются в точке Q. Докажите,
что
1/PQ = 1/PB + 1/PC.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]
