ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Главы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Все углы треугольника ABC меньше  120o. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом  120o.


Вниз   Решение


а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников  AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются в одной точке.
б) Точки A1, B1 и C1 перемещаются по прямым BC, CA и AB так, что все треугольники A1B1C1 подобны одному и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей треугольников  AB1C1, A1BC1 и A1B1C остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными.)

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 1956]      



Задача 56621  (#02.078)

Тема:   [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

а) ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Через вершины A, B, C и D проведены касательные к описанной окружности. Докажите, что образованный ими четырехугольник вписанный.
б) Четырехугольник KLMN вписанный и описанный одновременно; A и B — точки касания вписанной окружности со сторонами KL и LM. Докажите, что  AK . BM = r2, где r — радиус вписанной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56622  (#02.079)

Тема:   [ Три окружности пересекаются в одной точке ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники ABC', AB'C и A'BC, причем сумма углов при вершинах A', B' и C' кратна  180o. Докажите, что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56623  (#02.080)

Тема:   [ Три окружности пересекаются в одной точке ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников  AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются в одной точке.
б) Точки A1, B1 и C1 перемещаются по прямым BC, CA и AB так, что все треугольники A1B1C1 подобны одному и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей треугольников  AB1C1, A1BC1 и A1B1C остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 56624  (#02.081B)

Тема:   [ Три окружности пересекаются в одной точке ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Точки A1, B1, C1 движутся по прямым BC, CA, AB так, что все треугольники A1B1C1 подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник A1B1C1 имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек A1, B1, C1 к прямым BC, CA, AB пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56625  (#02.080.1)

Тема:   [ Три окружности пересекаются в одной точке ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны треугольника в точках A1, B1 и C1. Докажите, что если описанные окружности треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются в точке X, то X — точка пересечения высот треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 1956]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .