Попробуйте расшифровать отрывок из книги "Алиса в Зазеркалье": " — БЕРПИ Э ЙДЕМГОКВЭЫ БИБЕО-ЖАКЙПЧ ЗВЕЛЕ,  — ЗБИСИВ ФИВМИУ-КЕВМИУ ПЕЛЕВЧЖЕ ДГОСГАМОВЧЖЕ,  — ЕЖЕ ЕСЖИЬИОМ МЕВЧБЕ МЕ, ЬМЕ Э ЦЕЬЙ, ЬМЕКЮ ЕЖЕ ЕСЖИЬИВЕ,  — ЖА КЕВЧФО, ЖА ТОЖЧФО". Текст зашифрован так: десять букв ("а", "е", "и", "й", "о", "у", "ы", "э", "ю", "я") разбиты на пары, и каждая из этих букв в тексте заменена второй из пары. Все остальные буквы точно так же разбиты на пары.

   Решение

Даны русские слова: люк, яр, ель, лен, лезь. Определите, что получится, если звуки, из которых состоят эти слова, произнести в обратном порядке.

   Решение

Поняв принципы, по которым составлены таблички чисел, изображённые на рисунках, в первую табличку вставьте недостающее число, а из второй уберите лишнее число.

   Решение

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA₁, PB₁ и PC₁ под данным (ориентированным) углом  к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A₁, B₁ и C₁ лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла  90^o на угол  она повернется на угол  90^o - .

   Решение

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA₁ и PB₁ на прямые BC и AC. Докажите, что  PA ^. PA₁ = 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — расстояние от точки P до прямой A₁B₁.
б) Пусть  — угол между прямыми A₁B₁ и BC. Докажите, что  cos = PA/2R.

   Решение

Точки A, B, C, P и Q лежат на окружности с центром O, причем углы между вектором  и векторами  ,, и  равны  ,, и  ( + + )/2. Докажите. что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC параллельна OQ.

   Решение

На окружности фиксированы точки P и C; точки A и B перемещаются по окружности так, что угол ACB остается постоянным. Докажите, что прямые Симсона точки P относительно треугольников ABC касаются фиксированной окружности.

   Решение

а) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников  BCD, CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.

   Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 176]      

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H; P — точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC делит отрезок PH пополам.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность; l_a — прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD, прямые l_b, l_c и l_d определяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников  BCD, CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.

Прислать комментарий

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ - основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC, CA и AB. Треугольник A₁B₁C₁ называют подерным (или педальным) треугольником точки P относительно треугольника ABC.
Пусть A₁B₁C₁ — подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC. Докажите, что  B₁C₁ = BC ^. AP/2R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A₂, B₂ и C₂; A₁B₁C₁ — подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC (см. задачу 5.99). Докажите, что  A₁B₁C₁ A₂B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 176]