ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
![]()
Параграфы:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Постройте треугольник по данным серединам двух
сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведенная
к одной из этих сторон.
Докажите, что
Докажите, что
S = rc2tg( Даны три прямые l1, l2 и l3, пересекающиеся
в одной точке, и точка A на прямой l1. Постройте треугольник
ABC так, чтобы точка A была его вершиной, а биссектрисы
треугольника лежали на прямых l1, l2 и l3.
Из 16 плиток размером 1×3 и одной плитки 1×1
сложили квадрат со стороной 7. Докажите, что плитка 1×1
лежит в центре квадрата или примыкает к его границе.
С помощью одного циркуля Пользуясь только циркулем, разделите пополам данный отрезок, то есть постройте для данных точек A и B такую точку C, что точки A, B, C лежат на одной прямой и AC = BC. Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную
окружность переводит в окружность, а данную хорду — в ее диаметр.
Даны треугольник ABC и прямая l. Обозначим
через A1, B1, C1 середины отрезков, высекаемых на прямой l
углами A, B, C, а через A2, B2, C2 —
точки пересечения прямых AA1 и BC, BB1 и AC, CC1
и AB. Докажите, что точки A2, B2, C2 лежат на одной прямой.
Дан квадратный лист клетчатой бумаги размером
100×100 клеток. Проведено несколько несамопересекающихся
ломаных, идущих по сторонам клеток и не имеющих общих
точек. Эти ломаные идут строго внутри квадрата, а концами
обязательно выходят на границу. Докажите, что кроме
вершин квадрата найдется еще узел (внутри квадрата или
на границе), не принадлежащий ни одной ломаной.
Докажите, что
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
правильные треугольники A1BC, AB1C и ABC1. Докажите,
что
AA1 = BB1 = CC1.
Докажите, что для любого n существует окружность, на которой
лежит ровно n целочисленных точек.
|
Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]
На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток
окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа
можно вырезать конечное число квадратов так, что будут
выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных
квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток
составит не менее 1/5 и не более 4/5 площади K.
Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой
лежит ровно n целочисленных точек.
Докажите, что для любого n существует окружность, на которой
лежит ровно n целочисленных точек.
Начало координат является центром симметрии
выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта
фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами,
отличную от начала координат.
а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного,
в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых
имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть
зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.
Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке