Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Постройте треугольник по данным серединам двух сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведенная к одной из этих сторон.

Вниз   Решение


Докажите, что
а)  5R - r $ \geq$ $ \sqrt{3}$p;
б)  4R - ra $ \geq$ (p - a)[$ \sqrt{3}$ + (a2 + (b - c)2)/(2S)].

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  S = rc2tg($ \alpha$/2)tg($ \beta$/2)ctg($ \gamma$/2).

ВверхВниз   Решение


Даны три прямые l1, l2 и l3, пересекающиеся в одной точке, и точка A на прямой l1. Постройте треугольник ABC так, чтобы точка A была его вершиной, а биссектрисы треугольника лежали на прямых l1, l2 и l3.

ВверхВниз   Решение


Из 16 плиток размером 1×3 и одной плитки 1×1 сложили квадрат со стороной 7. Докажите, что плитка 1×1 лежит в центре квадрата или примыкает к его границе.

ВверхВниз   Решение


С помощью одного циркуля
  а) постройте точки пересечения данной окружности S и прямой, проходящей через данные точки A и B;
  б) постройте точку пересечения прямых A1B1 и A2B2, где A1, B1, A2 и B2 – данные точки.

ВверхВниз   Решение


Пользуясь только циркулем, разделите пополам данный отрезок, то есть постройте для данных точек A и B такую точку C, что точки A, B, C лежат на одной прямой и  AC = BC.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную окружность переводит в окружность, а данную хорду — в ее диаметр.

ВверхВниз   Решение


Даны треугольник ABC и прямая l. Обозначим через A1, B1, C1 середины отрезков, высекаемых на прямой l углами A, B, C, а через A2, B2, C2 — точки пересечения прямых AA1 и BC, BB1 и AC, CC1 и AB. Докажите, что точки A2, B2, C2 лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение


Дан квадратный лист клетчатой бумаги размером 100×100 клеток. Проведено несколько несамопересекающихся ломаных, идущих по сторонам клеток и не имеющих общих точек. Эти ломаные идут строго внутри квадрата, а концами обязательно выходят на границу. Докажите, что кроме вершин квадрата найдется еще узел (внутри квадрата или на границе), не принадлежащий ни одной ломаной.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что $ {\frac{1}{h_a}}$ + $ {\frac{1}{h_b}}$ + $ {\frac{1}{h_c}}$ = $ {\frac{1}{r_a}}$ + $ {\frac{1}{r_b}}$ + $ {\frac{1}{r_c}}$ = $ {\frac{1}{r}}$.

ВверхВниз   Решение


На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники A1BC, AB1C и ABC1. Докажите, что AA1 = BB1 = CC1.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что для любого n существует окружность, на которой лежит ровно n целочисленных точек.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



Задача 58212  (#24.007)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Разрезания на параллелограммы ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади K.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58213  (#24.011)

Тема:   [ Целочисленные решетки (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58214  (#24.012)

Тема:   [ Целочисленные решетки (прочее) ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Докажите, что для любого n существует окружность, на которой лежит ровно n целочисленных точек.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58215  (#24.008)

 [Теорема Минковского]
Тема:   [ Теорема Минковского ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58216  (#24.009)

Тема:   [ Теорема Минковского ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.
б) Пусть n — натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса $ \sqrt{n^2+1}$ с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса r. Докажите, что если r < $ {\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}$, то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .