Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Выпуклые многогранники A и B не имеют общих точек. Многогранник A имеет ровно 2012 плоскостей симметрии. Каково наибольшее возможное количество плоскостей симметрии у фигуры, состоящей из A и B, если B имеет
  а) 2012,
  б) 2013 плоскостей симметрии?
  в) Каков будет ответ в пункте б), если плоскости симметрии заменить на оси симметрии?

Вниз   Решение


Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в 2 цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет.

ВверхВниз   Решение


Площадь треугольника ABC равна 2. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через середины рёбер AD , BD , CD .

ВверхВниз   Решение


Про коэффициенты a, b, c и d двух квадратных трёхчленов  x² + bx + c  и  x² + ax + d  известно, что 0 < a < b < c < d.
Могут ли эти трёхчлены иметь общий корень?

ВверхВниз   Решение


Найдите остаток от деления многочлена  P(x) = x81 + x27 + x9 + x³ + x  на
  a)  x – 1;
  б)  x² – 1.

ВверхВниз   Решение


В ребусе $\text{ТУР}+\text{ТУР}+\text{ТУР}+...+\text{ТУР}=\text{ТУРЛОМ}$ одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы заменяют разные цифры. Часть одинаковых слагаемых мы заменили многоточием. Сколько всего может быть ТУРов, чтобы ребус имел решение? Найдите наименьшее и наибольшее количества.

ВверхВниз   Решение


Решите уравнение:  x(x + 1) = 2014·2015.

ВверхВниз   Решение


Докажите следующие формулы:

an+1bn+1 = (a – b)(an + an–1b + ... + bn);

a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2na2n–1b + a2n–2b2 – ... + b2n).

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство: |x1 + ... + xn| ≤ |x1| + ... + |xn|, где x1,..., xn — произвольные числа.

ВверхВниз   Решение


Сумма трёх положительных чисел равна 6. Докажите, что сумма их квадратов не меньше 12.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике DEF проведена медиана DK. Найдите углы треугольника, если  ∠KDE = 70°,  ∠DKF = 140°.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если в остроугольном треугольнике  ha = lb = mc, то этот треугольник равносторонний.

ВверхВниз   Решение


Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого ⅔ метра?

ВверхВниз   Решение


Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что при  a, b, c ≥ 0  имеет место неравенство  (ab + bc + ca)² ≥ 3abc(a + b + c).

ВверхВниз   Решение


Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение  x³ + y³ + z³ + kxyz  делилось на  x + y + z.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 141]      



Задача 60969  (#06.046)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Найдите остаток от деления многочлена  P(x) = x81 + x27 + x9 + x³ + x  на
  a)  x – 1;
  б)  x² – 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60970  (#06.047)

Тема:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что многочлен  P(x) = (x + 1)6x6 – 2x – 1  делится на  x(x + 1)(2x + 1).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60971  (#06.048)

Тема:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Многочлен P(x) дает остаток 2 при делении на  x – 1,  и остаток 1 при делении на  x – 2.
Какой остаток дает P(x) при делении на многочлен  (x – 1)(x – 2)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60972  (#06.049)

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Методы решения задач с параметром ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение  x³ + y³ + z³ + kxyz  делилось на  x + y + z.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60973  (#06.050)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

При каких n многочлен  1 + x² + x4 + ... + x2n–2  делится на  1 + x + x2 + ... + xn–1?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 141]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .