Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике каждая из трех диагоналей, соединяющих противоположные вершины, делит площадь пополам, то эти диагонали пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Известно, что в выпуклом n-угольнике  (n > 3)  никакие три диагонали не проходят через одну точку.
Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.

   Решение

---

Докажите равенство

   Решение

---

Дана клетчатая доска размером  а) 10×12;  б) 9×10;  в) 9×11. За ход разрешается вычеркнуть любую строку или любой столбец, если там есть хотя бы одна не вычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Есть ли у кого-нибудь выигрышная стратегия?

   Решение

---

Доказать, что при любом целом положительном n сумма     больше ½.

   Решение

---

Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размерами 199 × 991?

   Решение

---

Найдите остаток от деления 2¹⁰⁰ на 101.

   Решение

---

В вершинах 100-угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все они равны.

   Решение

---

Докажите, что на координатной плоскости можно провести окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.

   Решение

---

Докажите, что все числа ряда являются составными.

   Решение

---

Несколько стеклянных шариков разложено в три кучки. Мальчик, располагающий неограниченным запасом шариков, может за один ход взять по одному шарику из каждой кучки или же добавить из своего запаса в одну из кучек столько шариков, сколько в ней уже есть. Доказать, что за несколько ходов мальчик может добиться того, что в каждой кучке не останется ни одного шарика.

   Решение

---

План города имеет схему, представляющую собой прямоугольник 5×10 клеток. На улицах введено одностороннее движение: разрешается ехать только вправо и вверх. Сколько есть различных маршрутов, ведущих из левого нижнего угла в правый верхний?

   Решение

---

Докажите, что  .

   Решение

---

а) Докажите, что если  a + h_a = b + h_b = c + h_c, то треугольник ABC правильный.
б) В треугольник ABC вписаны три квадрата: у одного две вершины лежат на стороне AC, у другого — на BC, у третьего — на AB. Докажите, что если все три квадрата равны, то треугольник ABC правильный.

   Решение

---

Дан прямоугольный треугольник ABC. Пусть M – середина гипотенузы AB, O – центр описанной окружности ω треугольника CMB. Прямая AC вторично пересекает окружность ω в точке K. Прямая KO пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L. Докажите, что прямые AL и KM пересекаются на описанной окружности треугольника ACM.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64918  (#16)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Дан прямоугольный треугольник ABC. Пусть M – середина гипотенузы AB, O – центр описанной окружности ω треугольника CMB. Прямая AC вторично пересекает окружность ω в точке K. Прямая KO пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L. Докажите, что прямые AL и KM пересекаются на описанной окружности треугольника ACM.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64919  (#17)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q.
Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64920  (#18)

Темы:   [ Построения одной линейкой ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На плоскости начерчен треугольник и в нём отмечены две точки. Известно, что какой-то из углов треугольника равен 58°, какой-то из остальных – 59°, какая-то из отмеченных точек является центром вписанной окружности, а другая – центром описанной. Используя только линейку без делений, определите, где какой угол и где какая точка.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64921  (#19)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Формула Эйлера ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми тоже равно 1. Из точки C одной окружности проведены к другой касательные CA, CB, вторично пересекающие первую окружность в точках B', A'. Прямые AA' и BB' пересекаются в точке Z. Найдите угол XZY.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64922  (#20)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

В треугольнике ABC на стороне AB отметили точку D. Пусть ω₁ и Ω₁, ω₂ и Ω₂ – соответственно вписанные и вневписанные (касающиеся AB во внутренней точке) окружности треугольников ACD и BCD. Докажите, что общие внешние касательные к ω₁ и ω₂, Ω₁ и Ω₂ пересекаются на прямой AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями