ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Отрезок постоянной длины движется по плоскости
так, что его концы скользят по сторонам прямого угла ABC. По какой
траектории движется середина этого отрезка?
Прямоугольник разбили двумя прямыми, параллельными его сторонам, на четыре прямоугольника. Один из них оказался квадратом, а периметры прямоугольников, соседних с ним, равны 20 см и 16 см. Найдите площадь исходного прямоугольника. Найдите m и n зная, что Дано число 100...01; число нулей в нём равно 1961. Докажите, что это число – составное. Найдите наименьшее значение выражения а4 – а2 – 2а. Четырехугольник ABCD выпуклый; точки
A1, B1, C1
и D1 таковы, что
AB||C1D1, AC||B1D1 и т. д. для всех
пар вершин. Докажите, что четырехугольник
A1B1C1D1 тоже
выпуклый, причем
Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX
пересекает описанную окружность в точке A1. В сегмент,
отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги
BC в точке A1, а стороны BC — в точке A2. Точки
B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые
AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.
Для всех действительных x и y выполняется равенство f(x² + y) = f(x) + f(y²). Найдите f(–1). a, b, c – такие три числа, что a + b + c = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение ab + ac + bc ≤ 0. Выпуклый четырехугольник разделен диагоналями
на четыре треугольника. Докажите, что прямая, соединяющая
точки пересечения медиан двух противоположных треугольников,
перпендикулярна прямой, соединяющей точки пересечения высот двух других
треугольников.
Постройте треугольник по сторонам a и b, если
известно, что угол против одной из них в три раза больше
угла против другой.
В четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны,
причем лучи AB и DC пересекаются в точке O. Докажите, что прямая,
соединяющая середины диагоналей, перпендикулярна биссектрисе угла AOD.
Постройте треугольник ABC по медиане mc и
биссектрисе lc, если
Через вершину A выпуклого четырехугольника ABCD
проведите прямую, делящую его на две равновеликие части.
Сколько существует различных возможностей рассадить 5 юношей и 5 девушек за круглый стол с 10 креслами так, чтобы они чередовались? Постройте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих равенству max {x, x²} + min {y, y²} = 1. |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 53]
Постройте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих равенству max {x, x²} + min {y, y²} = 1.
Внутри параллелограмма ABCD расположена точка М. Сравните периметр параллелограмма и сумму расстояний от М до его вершин.
В театральной труппе 60 актеров. Каждые два хотя бы раз играли в одном и том же спектакле. В каждом спектакле занято не более 30 актеров.
Положительные числа x, y, z таковы, что xyz = 1. Докажите, что
Пусть N – чётное число, которое не кратно 10. Найдите цифру десятков числа N20.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 53]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке