Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 20 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть BHb, CHc – высоты треугольника ABC. Прямая HbHc пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точках X и Y. Точки P и Q симметричны X и Y относительно AB и AC соответственно. Докажите, что  PQ || BC.

Вниз   Решение


Автор: Иванов К.

Действительные числа a, b, c, d, по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению   abc + abd + acd + bcd + a + b + c + d = 0.
Докажите, что  

ВверхВниз   Решение


С левого берега реки на правый с помощью одной лодки переправились N туземцев, каждый раз плавая направо вдвоем, а обратно – в одиночку. Изначально каждый знал по одному анекдоту, каждый – свой. На берегах они анекдотов не рассказывали, но в лодке каждый рассказывал попутчику все известные ему на данный момент анекдоты. Для каждого натурального k найдите наименьшее возможное значение N, при котором могло случиться так, что в конце каждый туземец знал, кроме своего, еще не менее чем k анекдотов.

ВверхВниз   Решение


Вписанная окружность прямоугольного треугольника АВС (угол С – прямой) касается сторон АВ, ВС и СА в точках С1, А1, В1 соответственно. Высоты треугольника А1В1С1 пересекаются в точке D. Найдите расстояние между точками C и D, если длины катетов треугольника АВС равны 3 и 4.

ВверхВниз   Решение


На сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС  (АВ = АС)  соответственно отмечены точки Ми N так, что  АN > AM.  Прямые MN и ВС пересекаются в точке K. Сравните длины отрезков MK и MB.

ВверхВниз   Решение


На некоторые клетки квадратной доски 4×4 выкладывают стопкой золотые монеты, а на остальные клетки – серебряные. Можно ли положить монеты так, чтобы в каждом квадрате 3×3 серебряных монет было больше, чем золотых, а на всей доске золотых было больше, чем серебряных?

ВверхВниз   Решение


Автор: Mudgal A.

В остроугольном треугольнике ABC углы B и C больше 60°. Точки P, Q на сторонах AB, AC таковы, что A, P, Q и ортоцентр треугольника H лежат на одной окружности; K – середина отрезка PQ. Докажите, что  ∠BKC > 90°.

ВверхВниз   Решение


Поле представляет собой клетчатый квадрат 41×41, в одной из клеток которого замаскирован танк. Истребитель за один выстрел обстреливает одну клетку. Если произошло попадание, танк переползает на соседнюю по стороне клетку поля, если нет – остаётся на месте. При этом после выстрела пилот истребителя не знает, произошло ли попадание. Для уничтожения танка надо попасть в него два раза. Каким наименьшим числом выстрелов можно обойтись для того, чтобы гарантировать, что танк уничтожен?

ВверхВниз   Решение


Пусть AK и BL – высоты остроугольного треугольника ABC, а Ω – вневписанная окружность ABC, касающаяся стороны AB. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника CKL и окружности Ω пересекают прямую AB в точках P и Q. Докажите, что  AP = BQ.

ВверхВниз   Решение


Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, A', B', C', D' – центры описанных сфер тетраэдров IBCD, ICDA, IDBA, IABC соответственно.
Докажите, что описанная сфера тетраэдра ABCD целиком лежит внутри описанной сферы тетраэдра A'B'C'D'.

ВверхВниз   Решение


На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.

ВверхВниз   Решение


Автор: Соколов А.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть ωA, ωB, ωC, ωD – описанные окружности треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно. Обозначим через XA произведение степени точки A относительно ωA на площадь треугольника BCD. Аналогично определим XB, XC, XD. Докажите, что  XA + XB + XC + XD = 0.

ВверхВниз   Решение


Сумма цифр натурального числа n равна сумме цифр числа  2n + 1.  Могут ли быть равными суммы цифр чисел  3n – 3  и  n – 2?

ВверхВниз   Решение


На плоскости дан отрезок AB. Рассмотрим всевозможные остроугольные треугольники со стороной AB. Найдите геометрическое место
  а) вершин их наибольших углов;
  б) их центров вписанных окружностей.

ВверхВниз   Решение


Дан квадрат ABCD. Первая окружность касается сторон угла A, вторая – сторон угла B, причём сумма диаметров окружностей равна стороне квадрата. Докажите, что одна из общих касательных этих окружностей пересекает сторону AB в её середине.

ВверхВниз   Решение


Автор: Дидин М.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. На прямых AB и AC отмечены точки Q и P соответственно так, что  QMAC  и  PMAB.  Описанная окружность треугольника PMQ пересекает прямую BC вторично в точке X. Докажите, что  BH = CX.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике центр описанной окружности лежит на вписанной окружности.
Докажите, что отношение наибольшей стороны треугольника к наименьшей меньше 2.

ВверхВниз   Решение


В однокруговом хоккейном турнире принимало участие 2016 команд. По регламенту турнира за победу даётся 3 очка, за поражение 0 очков, а в случае ничьей назначается дополнительное время, победитель которого получает 2 очка, а проигравший – 1 очко. По окончании турнира Остапу Бендеру сообщили количество очков, набранных каждой командой, на основании чего он сделал вывод, что не менее N матчей закончились дополнительным временем. Найдите наибольшее возможное значение N.

ВверхВниз   Решение


Дан четырёхугольник ABCD, в котором  AC = BD = AD;  точки E и F – середины AB и CD соответственно; O – точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите, что EF проходит через точки касания вписанной окружности треугольника AOD с его сторонами AO и OD.

ВверхВниз   Решение


Саша разрезал бумажный треугольник на два треугольника. Затем он каждую минуту резал на два треугольника один из полученных ранее треугольников. Через некоторое время, не меньшее часа, все полученные Сашей треугольники оказались равными. Укажите все исходные треугольники, для которых возможна такая ситуация.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



Задача 66308  (#9.3)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Признаки подобия ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Mudgal A.

В остроугольном треугольнике ABC углы B и C больше 60°. Точки P, Q на сторонах AB, AC таковы, что A, P, Q и ортоцентр треугольника H лежат на одной окружности; K – середина отрезка PQ. Докажите, что  ∠BKC > 90°.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66316  (#10.3)

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Соколов А.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть ωA, ωB, ωC, ωD – описанные окружности треугольников BCD, ACD, ABD, ABC соответственно. Обозначим через XA произведение степени точки A относительно ωA на площадь треугольника BCD. Аналогично определим XB, XC, XD. Докажите, что  XA + XB + XC + XD = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66207  (#4)

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Композиции поворотов ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. На стороне AB как на основании построен во внешнюю сторону равнобедренный треугольник ABC' с углом при вершине 120°, а на стороне AC построен во внутреннюю сторону правильный треугольник ACB'. Точка K – середина отрезка BB'. Найдите углы треугольника KCC'.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66302  (#8.4)

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Саша разрезал бумажный треугольник на два треугольника. Затем он каждую минуту резал на два треугольника один из полученных ранее треугольников. Через некоторое время, не меньшее часа, все полученные Сашей треугольники оказались равными. Укажите все исходные треугольники, для которых возможна такая ситуация.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66309  (#9.4)

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Поворотная гомотетия (прочее) ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Окружность Аполлония ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Mahdi Etesami Fard

Точка D лежит на основании BC равнобедренного треугольника ABC, а точки M и K – на его боковых сторонах AB и AC соответственно, причём AMDK – параллелограмм. Прямые MK и BC пересекаются в точке L. Перпендикуляр к BC, восставленный из точки D, пересекает прямые AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что окружность с центром L, проходящая через D, касается описанной окружности треугольника AXY.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .