Версия для печати
Убрать все задачи

---

Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет еще одну карту, и так сколько угодно раз, пока он не скажет “стоп”. Может ли Фукс добиться того, чтобы после слова "стоп"
  а) каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?
  б) рядом со свободным местом наверняка не было туза пик?

   Решение

---

Пусть  f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
Может ли оказаться, что уравнение  f(x) = a  при любом значении a имеет чётное число решений?

   Решение

---

В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри 2002-угольника. В результате 2002-угольник разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями этого 2002-угольника?

   Решение

---

К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.

   Решение

Страница: << 203 204 205 206 207 208 209 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66748

Темы:   [ Алгебра и арифметика (прочее) ] [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили – в красный цвет, если между его концами чётное число вершин, и в синий – в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках – произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66750

Темы:   [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Внутри равнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что  $CK = AB = BC$  и  ∠ KAC = 30°.  Найдите угол $AKB$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66754

Темы:   [ Биссектриса угла ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,11

К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66756

Темы:   [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1.
  а) Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
  б) А квадрат площади ¹/₂₀₁₉?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66825

Темы:   [ Логика и теория множеств (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Углы между биссектрисами ] [ Невыпуклые многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Дан многоугольник, у которого каждые две соседние стороны перпендикулярны. Назовём две его вершины не дружными, если биссектрисы многоугольника, выходящие из этих вершин, перпендикулярны. Докажите, что для любой вершины количество не дружных с ней вершин чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 203 204 205 206 207 208 209 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями