ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина >> XVII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2021 г.)
классы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

На прямых AB, BC, CA даны точки C1 и C2, A1 и A2, B1 и B2. Точки C1 и C2 определяют числа $ \gamma_{1}^{}$ и $ \gamma_{2}^{}$, для которых (1 + $ \gamma_{1}^{}$)$ \overrightarrow{AC_1}$ = $ \overrightarrow{AB}$ и (1 + $ \gamma_{2}^{}$)$ \overrightarrow{C_2B}$ = $ \overrightarrow{AB}$; числа $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$, $ \beta_{1}^{}$, $ \beta_{2}^{}$ определяются аналогично. Докажите, что прямые A2B1, B2C1 и C2A1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$$\displaystyle \beta_{1}^{}$$\displaystyle \gamma_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$$\displaystyle \beta_{2}^{}$$\displaystyle \gamma_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{1}^{}$$\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \beta_{1}^{}$$\displaystyle \beta_{2}^{}$ + $\displaystyle \gamma_{1}^{}$$\displaystyle \gamma_{2}^{}$ = 1.


Замечание. При $ \alpha_{2}^{}$ = $ \beta_{2}^{}$ = $ \gamma_{2}^{}$ = 0 точки A2, B2, C2 совпадают с B, C, A; в этом случае получаем теорему Чевы. При $ \alpha_{1}^{}$$ \alpha_{2}^{}$ = $ \beta_{1}^{}$$ \beta_{2}^{}$ = $ \gamma_{1}^{}$$ \gamma_{2}^{}$ = 1 совпадают точки A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2. (Действительно, совпадение точек A1 и A2 эквивалентно тому, что $ {\frac{1}{\alpha_1}}$ + $ {\frac{1}{\alpha_2}}$ = 1; это равенство эквивалентно равенству $ \alpha_{1}^{}$$ \alpha_{2}^{}$ = 1.) Прямые A1B1, B1C1 и C1A1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда они совпадают. В этом случае получаем теорему Менелая.

Вниз   Решение

Автор: Берлов С.Л.

Существует ли выпуклый многоугольник, у которого длины всех сторон равны, а любые три вершины образуют тупоугольный треугольник?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

  с решениями  

Задача 66967  (#8.7)

Темы:   [ Пятиугольники ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Кухарчук И.

В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ равны углы $CAB$, $BCA$, $ECD$, $DEC$ и $AEC$. Докажите, что середина $BD$ лежит на $CE$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 66968  (#8.8)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

Существует ли выпуклый многоугольник, у которого длины всех сторон равны, а любые три вершины образуют тупоугольный треугольник?
Прислать комментарий     Решение

Задача 66969  (#9.1)

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Геометрическая прогрессия ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Ивлев Ф., Марданов А.

Через точку внутри треугольника провели три чевианы. Оказалось, что длины шести отрезков, на которые они разбивают стороны треугольника, образуют в каком-то порядке геометрическую прогрессию. Докажите, что длины чевиан тоже образуют геометрическую прогрессию.
Прислать комментарий     Решение

Задача 66970  (#9.2)

Темы:   [ Пятиугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Площадь четырехугольника ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Волчкевич М.А.

Дан вписанный в окружность пятиугольник. Докажите, что отношение его площади к сумме диагоналей не превосходит четверти радиуса окружности.
Прислать комментарий     Решение

Задача 66971  (#9.3)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Точка Торричелли ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Дидин М., Фролов И.И.

Внутри остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $T$, такая что $\angle ATB = \angle BTC = 120^\circ$. Окружность с центром $E$ проходит через середины сторон треугольника $ABC$. Оказалось, что точки $B,T,E$ лежат на одной прямой. Найдите угол $ABC$.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам