Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XIX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2023 г.)
>>
Заочный тур
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Про треугольник ABC известно, что точка, симметричная ортоцентру относительно центра описанной окружности, лежит на стороне BC. Пусть A1 – основание высоты, проведенной из точки A. Докажите, что A1 лежит на окружности, проходящей через середины трёх высот треугольника ABC.
Разрежем на четыре части. Разрежьте каждую из фигур на четыре равные части (резать можно по сторонам и диагоналям клеток).
У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своем торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Как это могло быть?
В клетках доски n×n произвольно расставлены числа от 1 до n². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на n + 1.
В распоряжении юного паркетчика имеется 10 одинаковых плиток, каждая из которых состоит из 4 квадратов и имеет форму буквы Г (все плитки ориентированы одинаково). Может ли он составить из них прямоугольник размером 5×8? (Плитки можно поворачивать, но нельзя переворачивать. Например, на рисунке изображено неверное решение: заштрихованная плитка неправильно ориентирована.)
AK – биссектриса треугольника ABC, P и Q – точки на двух других биссектрисах (или на их продолжениях) такие, что PA = PK и QA = QK.
Докажите, что ∠PAQ = 90° – ½ ∠A.
Снегирь. Итак, мама воскликнула — «Чудеса!», и сразу же мама, папа и дети отправились в зоомагазин. «Но здесь больше пятидесяти снегирей, как мы выберем», — чуть не заплакал младший брат, увидев снегирей. «Не волнуйся», — сказал старший, — «их меньше пятидесяти». «Главное,» — сказала мама, — «что здесь есть хотя бы один!» «Да, забавно,» — подытожил папа, — «из трех ваших фраз только одна соответствует действительности». Сможете ли Вы сказать, сколько снегирей было в магазине, зная, что снегиря мне купили?
Дан вписанный четырехугольник ABCD. На сторонах AD и CD взяты точки E и F так, что AE=BC и AB=CF. Пусть M – середина EF. Докажите, что угол AMC прямой.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача 67208 |
|
|
Окружность касается боковых сторон трапеции ABCD в точках B и C, а её центр лежит на AD. Докажите, что диаметр окружности меньше средней линии трапеции.
|
|
Решение |
Задача 67210 |
|
|
Дан вписанный четырехугольник ABCD. На сторонах AD и CD взяты точки E и F так, что AE=BC и AB=CF. Пусть M – середина EF. Докажите, что угол AMC прямой.
|
|
Решение |
Задача 67214 |
|
|
Про треугольник ABC известно, что точка, симметричная ортоцентру относительно центра описанной окружности, лежит на стороне BC. Пусть A1 – основание высоты, проведенной из точки A. Докажите, что A1 лежит на окружности, проходящей через середины трёх высот треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 67226 |
|
|
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Пусть Mac – середина диагонали AC; Hd, Hb – ортоцентры треугольников ABC, ADC соответственно; Pd, Pb – проекции Hd и Hb на BMac и DMac соответственно. Аналогично определим Pa, Pc для диагонали BD. Докажите, что Pa, Pb, Pc, Pd лежат на одной окружности.
|
|
|
Решение |
Задача 67209 |
|
|
На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E так, что ∠BED=3∠BDE. Точка D′ симметрична точке D относительно прямой AC. Докажите, что прямая D′E проходит через точку пересечения биссектрис треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
