Каталог по источникам

Выбрано 14 задач

На окружности дано n точек. Через центр масс n - 2 точек проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две оставшиеся точки. Докажите, что все такие прямые пересекаются в одной точке.

Решение

Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.

Решение

Автор: Смирнов А.

Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей. Пара соседних чисел называется хорошей, если при выкидывании этой пары вышеописанное свойство сохраняется. Какое минимальное количество хороших пар может быть?

Решение

Автор: Шевцов А.

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ и на ней выбрана точка $D$ . Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника $BDC$ в точках $B$ и $C$ , пересекаются в точке $K$ . Докажите, что $DD'$ параллельно $AK$ , где $D'$ – точка, изогонально сопряжённая точке $D$ относительно треугольника $ABC$ .

Решение

Автор: Заславский А.А.

Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$ . Произвольная окружность, проходящая через точки $C$ и $D$ , пересекает прямые $AC$ , $BC$ в точках $X$ , $Y$ соответственно. Найдите ГМТ пересечения окружностей $CAY$ и $CBX$ .

Решение

Автор: Гарбер М.

На столе лежат 365 карточек, на обратной стороне которых написаны различные числа. За один рубль Вася может выбрать три карточки и попросить Петю положить их слева направо так, чтобы числа на карточках располагались в порядке возрастания. Может ли Вася, потратив 2000 рублей, с гарантией выложить все 365 карточек на стол слева направо так, чтобы числа на них располагались в порядке возрастания?

Решение

Автор: Чеканов Ю.В.

У Коли есть отрезок длины k, а у Лёвы — отрезок длины l. Сначала Коля делит свой отрезок на три части, а потом Лёва делит на три части свой отрезок. Если из получившихся шести отрезков можно сложить два треугольника, то выигрывает Лёва, а если нет — Коля. Кто из играющих, в зависимости от отношения k/l, может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?

Решение

На прямой AB взяты точки P и P₁, а на прямой AC взяты точки Q и Q₁. Прямая, соединяющая точку A с точкой пересечения прямых PQ и P₁Q₁, пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}}$ = $\displaystyle {\frac{(\overline{BP}/\overline{PA})-(\overline{BP_1}/ \overline{P_1A})}{(\overline{CQ}/\overline{QA})-(\overline{CQ_1}/\overline{Q_1A})}}$ .

Решение

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C₁ – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
а) прямая C₁F делит пополам периметр треугольника ABC;
б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Решение

Изобразите на фазовой плоскости Opq множество точек (p, q), для которых уравнение x³ + px + q = 0 имеет три различных корня, принадлежащих интервалу (–2, 4).

Решение

Автор: Tran Quang Hung

Дан тетраэдр $ABCD$ . Прямая $\ell$ пересекает плоскости $ABC$ , $BCD$ , $CDA$ , $DAB$ в точках $D_0$ , $A_0$ , $B_0$ , $C_0$ соответственно. Пусть $P$ – произвольная точка, не лежащая на прямой $\ell$ и в плоскостях граней тетраэдра, а $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , $D_1$ – вторые точки пересечения прямых $PA_0$ , $PB_0$ , $PC_0$ , $PD_0$ со сферами $PBCD$ , $PCDA$ , $PDAB$ , $PABC$ соответственно. Докажите, что $P$ , $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , $D_1$ лежат на одной окружности.

Решение

Автор: Курский М.

Пусть $H$ – ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$ ; $E$ , $F$ – такие точки на сторонах $AB$ , $AC$ соответственно, что $AEHF$ – параллелограмм; $X$ , $Y$ – точки пересечения прямой $EF$ с описанной окружностью $\omega$ треугольника $ABC$ ; $Z$ – точка $\omega$ , диаметрально противоположная $A$ . Докажите, что $H$ – ортоцентр треугольника $XYZ$ .

Решение

Автор: Шарыгин И.Ф.

D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

Решение

Авторы: Mudgal A., Srivastava P.

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина $BC$ , $P$ – ближайшая к $A$ точка пересечения луча $AM$ и вписанной окружности треугольника, $Q$ – дальняя от $A$ точка пересечения луча $AM$ и вневписанной окружности. Касательная к вписанной окружности в точке $P$ пересекает $BC$ в точке $X$ , а касательная к вневписанной окружности в точке $Q$ пересекает $BC$ в точке $Y$ . Докажите, что $MX=MY$ .

Решение

Задача 67212

Задача 67223

Задача 67227

Задача 67224

Задача 67228