Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точки Е и F – середины сторон ВС и AD выпуклого четырёхугольника АВСD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении.

   Решение

---

В колоде часть карт лежит рубашкой вниз. Время от времени Петя вынимает из колоды пачку из одной или нескольких подряд идущих карт, в которой верхняя и нижняя карты лежат рубашкой вниз, переворачивает всю пачку как одно целое и вставляет её в то же место колоды (если "пачка" состоит лишь из одной карты, то требуется только, чтобы она лежала рубашкой вниз). Докажите, что в конце концов все карты лягут рубашкой вверх, как бы ни действовал Петя.

   Решение

---

По заданному ненулевому x значение x⁸ можно найти за три арифметических действия: x² = x · x, x⁴ = x² · x², x⁸ = x⁴ · x⁴, а x¹⁵ — за пять действий: первые три — те же самые, затем x⁸ · x⁸ = x¹⁶ и x¹⁶ : x = x¹⁶. Докажите, что

а) x¹⁶ можно найти за 12 действий (умножений и делений);

б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log₂n действий.

   Решение

---

Как расположены плоскости симметрии ограниченного тела, если оно имеет две оси вращения? (Осью вращения тела называется прямая, после поворота вокруг которой на любой угол тело совмещается само с собой.)

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 77886

Тема:   [ Поворот и винтовое движение ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Как расположены плоскости симметрии ограниченного тела, если оно имеет две оси вращения? (Осью вращения тела называется прямая, после поворота вокруг которой на любой угол тело совмещается само с собой.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77885

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Метод спуска ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Найти такие целые числа x, y, z и t, что  x² + y² + z² + t² = 2xyzt.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77888

Темы:   [ Геометрическая прогрессия ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9

Имеется 4n положительных чисел, таких, что из любых четырёх попарно различных можно составить геометрическую прогрессию. Доказать, что среди этих чисел найдется n одинаковых.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109040

Темы:   [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Шестиугольники ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Доказать, что если у шестиугольника противоположные стороны параллельны и диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны, то вокруг него можно описать окружность.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77887

Тема:   [ Иррациональные уравнения ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Найти действительные корни уравнения:

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями