Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На какое целое число надо умножить 999 999 999, чтобы получить число, состоящее из одних единиц?

Вниз   Решение


В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CH$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$. Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны относительно $AC$ точкам $A_1$ и $C_1$. Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$.

ВверхВниз   Решение


Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

ВверхВниз   Решение


Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

ВверхВниз   Решение


Существует ли тетраэдр, каждое ребро которого являлось бы стороной плоского тупого угла?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что числа Ферма  fn = 22n + 1  при  n > 1  не представимы в виде суммы двух простых чисел.

ВверхВниз   Решение


Даны n комплексных чисел C1, C2,..., Cn, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0,

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.

ВверхВниз   Решение


Докажите для положительных значений переменных неравенство  (a + b + c)(a² + b² + c²) ≥ 9abc.

ВверхВниз   Решение


n отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2n-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC. Построим треугольник, стороны которого касаются вневписанных окружностей этого треугольника. Зная углы исходного треугольника, найти углы построенного.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



Задача 78191

Тема:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 9

Даны 12 чисел, a1, a2,...a12, причём имеют место следующие неравенства:

a2(a1 - a2 + a3) < 0
a3(a2 - a3 + a4) < 0
.........    
a11(a10 - a11 + a12) < 0

Доказать, что среди этих чисел найдётся по крайней мере 3 положительных и 3 отрицательных.
Прислать комментарий     Решение

Задача 78192

Тема:   [ Вневписанные окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Дан треугольник ABC. Построим треугольник, стороны которого касаются вневписанных окружностей этого треугольника. Зная углы исходного треугольника, найти углы построенного.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78193

Тема:   [ Четырехугольник (неравенства) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Даны два пересекающихся отрезка длины 1, AB и CD. Доказать, что по крайней мере одна из сторон четырёхугольника ABCD не меньше $ {\frac{\sqrt{2}}{2}}$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78194

Темы:   [ Обратный ход ]
[ Шахматная раскраска ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Доказать, что шахматную доску размером 4 на 4 нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле ровно один раз.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78198

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .