Версия для печати
Убрать все задачи

---

Имеется сетка, состоящая из квадратов размером 1×1. Каждый её узел покрашен в один из четырёх данных цветов так, что вершины любого квадрата 1×1 покрашены в разные цвета. Доказать, что найдётся прямая, принадлежащая сетке, такая, что узлы, лежащие на ней, покрашены в два цвета.

   Решение

Страница: << 172 173 174 175 176 177 178 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78710

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 8

Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычёркивает 9 чисел (по своему выбору) из последовательности 1, 2, 3, ..., 100, 101. После одиннадцати таких вычёркиваний останутся два числа. Затем второй игрок присуждает первому столько очков, какова разница между этими оставшимися числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55 очков, как бы ни играл второй.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78714

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Последовательности (прочее) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78778

Тема:   [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 3+ Классы: 10

Доказать, что среди чисел [2^k · ] бесконечно много составных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78781

Тема:   [ Рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Про последовательность x₁, x₂, ..., x_n, ... известно, что для любого n > 1 выполнено равенство 3x_n - x_{n - 1} = n. Кроме того, известно, что | x₁| < 1971. Вычислить x₁₉₇₁ с точностью до 0, 000001.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78787

Темы:   [ Целочисленные решетки ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Имеется сетка, состоящая из квадратов размером 1×1. Каждый её узел покрашен в один из четырёх данных цветов так, что вершины любого квадрата 1×1 покрашены в разные цвета. Доказать, что найдётся прямая, принадлежащая сетке, такая, что узлы, лежащие на ней, покрашены в два цвета.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 172 173 174 175 176 177 178 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями