- Вводные задачи (4 задачи)
- параграф 1. Вписанные и описанные четырехугольники (20 задач)
- параграф 2. Четырехугольники (16 задач)
- параграф 3. Теорема Птолемея (11 задач)
- параграф 4. Пятиугольники (4 задачи)
- параграф 5. Шестиугольники (6 задач)
- параграф 6. Правильные многоугольники (24 задачи)
- параграф 7. Вписанные и описанные многоугольники (10 задач)
- параграф 8. Произвольные выпуклые многоугольники (5 задач)
- параграф 9. Теорема Паскаля (10 задач)
Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Решить в целых числах уравнение x² = 14 + y².
а) Сколькими способами можно разбить 15 человек на три команды по пять человек в каждой?
б) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две команды по пять человек в каждой?
Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?
Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C1. Точки A1, B1 определены аналогично. Докажите, что
а) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке;
б) треугольники ABC и A1B1C1 подобны.
Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что
а) pq + qp ≡ p + q (mod pq);
б) – чётное число, если p, q ≠ 2.
Пусть P(xn) делится на x – 1. Докажите, что P(xn) делится на xn – 1.
Найдите наименьшее число, записываемое одними
единицами, делящееся на
(в записи 100 троек).
Решить в целых числах уравнение x² + y² = 4z – 1.
а) Дано шестизначное число abcdef, причём abc + def делится на 37. Докажите, что и само число делится на 37.
б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 37.
Даны точки A, B. Найдите геометрическое место таких точек C, что C, середины отрезков AC, BC и точка пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной окружности.
С помощью двусторонней линейки постройте центр
данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки.
Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.
Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
Задачи Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 110]
Задача 57075 (#06.062) |
|
|
Вершины правильного n-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.
Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.
|
|
Решение |
Задача 57076 (#06.063) |
|
|
Докажите, что при n ≥ 6 правильный (n–1)-угольник нельзя так вписать в правильный n-угольник, чтобы на всех сторонах n-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (n–1)-угольника.
|
|
|
Решение |
Задача 55373 (#06.064) |
|
|
Пусть О – центр правильного многоугольника A1A2A3...An, X
– произвольная точка плоскости. Докажите, что:
a)
б)
|
|
|
Решение |
Задача 78798 (#06.065) |
|
|
Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
|
|
Решение |
Задача 57079 (#06.066) |
|
|
Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X1...X10, а точка B — вне его. Пусть a = + ... +
и b =
+ ... +
.
Может ли оказаться, что |a| > |b| ?
|
|
|
Решение |
Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 110]
