Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
На координатной плоскости нарисованы круги радиусом 1/14 с центрами в каждой точке, у которой обе координаты — целые числа. Докажите, что любая окружность радиусом 100 пересечёт хотя бы один нарисованный круг.
Какое наибольшее число осей симметрии может иметь пространственная фигура, состоящая из трёх прямых, из которых никакие две не параллельны и не совпадают?
В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных звена попарно перпендикулярны. Доказать, что число звеньев делится на 6.
Доска размером 2005×2005 разделена на квадратные клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в каком-то порядке занумерованы числами 1, 2, ... так, что на расстоянии, меньшем 10, от любой незанумерованной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите, что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150, которые занумерованы числами, различающимися более, чем на 23. (Расстояние между клетками – это расстояние между их центрами.)
На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее и наибольшее расстояние до границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выбрали наибольшее, а среди наибольших выбрали наименьшее и сравнили полученные два числа. Какую форму имеет клякса, если эти два числа равны между собой?
Доказать, что если |ax² – bx + c| < 1 при любом x из отрезка [–1, 1], то и |(a + b)x² + c| < 1 на этом отрезке.
Дано число A = , где n и m –
натуральные числа, не меньшие 2.
Доказать, что существует такое натуральное k, что A = .
Грани кубика занумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, что сумма номеров на противоположных гранях кубика равна 7. Дана шахматная доска 50×50 клеток, каждая клетка равна грани кубика. Кубик перекатывается из левого нижнего угла доски в правый верхний. При перекатывании он каждый раз переваливается через свое ребро на соседнюю клетку, при этом разрешается двигаться только вправо или вверх (нельзя двигаться влево или вниз). На каждой из клеток на пути кубика имеется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех написанных чисел? Какое наименьшее значение она может принимать?
В таблицу 8×8 вписаны все целые числа от 1 до 64. Доказать, что при этом найдутся два соседних числа, разность между которыми не меньше 5. (Соседними называются числа, стоящие в клетках, имеющих общую сторону.)
Имеется 200 карточек размером 1×2, на каждой из которых написаны числа +1 и -1. Можно ли так заполнить этими карточками лист клетчатой бумаги размером 4×100, чтобы произведения чисел в каждом столбце и каждой строке образовавшейся таблицы были положительны? (Карточка занимает целиком две соседние клетки.)
В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что максимальная скорость гангстера равна 2,9 максимальной скорости полицейского. Полицейский хочет оказаться вместе с гангстером на одной стороне квадрата. Всегда ли он сможет этого добиться?
Дано число A = , где M – натуральное число большее 2.
Доказать, что найдётся такое натуральное k, что
A = .
Доказать, что существует такое натуральное число n, большее 1000, что сумма цифр числа 2n больше суммы цифр числа 2n+1.
В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел
любой строки равно числу, стоящему на их пересечении.
Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен
, а длины высот
треугольника — целые числа, сумма которых равна 13. Вычислить длины сторон
треугольника.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]
Задача 79401 |
|
|
Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.
|
|
Решение |
Задача 79403 |
|
|
В квадрате со стороной длины 1 расположена ломаная без самопересечений, длина которой не меньше 200. Доказать, что найдётся прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая ломаную не менее чем в 101-й точке.
|
|
|
Решение |
Задача 79404 |
|
Радиус вписанной в треугольник окружности равен
, а длины высот
треугольника — целые числа, сумма которых равна 13. Вычислить длины сторон
треугольника.
|
|
Решение |
Задача 74220 |
|
|
Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число
|
|
|
Решение |
Задача 79402 |
|
|
Доказать, что последовательность xn = sin(n2) не стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]
