Версия для печати
Убрать все задачи

---

  Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Каждая его сторона разбита на k равных частей. Точки деления, принадлежащие стороне AB, соединены прямыми с точками деления, принадлежащими стороне CD, так что первая, считая от A, точка деления соединена с первой точкой деления, считая от D, вторая, считая от A, – со второй, считая от D, и т. д. (первая серия прямых), а точки деления, принадлежащие стороне BC, аналогичным образом соединены с точками деления, принадлежащими стороне DA (вторая серия прямых). Образовалось k² маленьких четырёхугольников. Из них выбрано k четырёхугольников таким образом, что каждые два выбранных четырёхугольника разделены хотя бы одной прямой первой серии и хотя бы одной прямой второй серии.
  Доказать, что сумма площадей выбранных четырёхугольников равна  ¹/_k S_ABCD.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97760  (#1)

Темы:   [ Инварианты ] [ Деление с остатком ] [ Процессы и операции ] [ Теория групп (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97761  (#2)

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

В таблице N×N, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном элементе).
Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97762  (#3)

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ] [ Перебор случаев ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

a₁, a₂, ..., a₁₀₁  – такая перестановка чисел  2, 3, ..., 102,  что a_k делится на k при каждом k. Найти все такие перестановки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97763  (#4)

Темы:   [ Площадь (прочее) ] [ Конус ] [ Векторы (прочее) ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Площадь сферы и ее частей ] [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97764  (#5)

Темы:   [ Отношения площадей (прочее) ] [ Перегруппировка площадей ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

  Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Каждая его сторона разбита на k равных частей. Точки деления, принадлежащие стороне AB, соединены прямыми с точками деления, принадлежащими стороне CD, так что первая, считая от A, точка деления соединена с первой точкой деления, считая от D, вторая, считая от A, – со второй, считая от D, и т. д. (первая серия прямых), а точки деления, принадлежащие стороне BC, аналогичным образом соединены с точками деления, принадлежащими стороне DA (вторая серия прямых). Образовалось k² маленьких четырёхугольников. Из них выбрано k четырёхугольников таким образом, что каждые два выбранных четырёхугольника разделены хотя бы одной прямой первой серии и хотя бы одной прямой второй серии.
  Доказать, что сумма площадей выбранных четырёхугольников равна  ¹/_k S_ABCD.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями