Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли какой-нибудь выпуклый многоугольник разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников?

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CH. В треугольники ACH и BCH вписали окружности; O₁ и O₂ – их центры; P₁ и P₂ – их точки касания с AC и BC. Докажите, что прямые O₁P₁ и O₂P₂ пересекаются на AB.

   Решение

---

Дана таблица n×n клеток и такие натуральные числа k и  m > k,  что m и  n – k  взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа  a₁, ..., a_k, a_k+1, ..., a_m, a_m+1, ..., a_n.  Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке:  a_m+1, ..., a_n, a_k+1, ..., a_m, a₁, ..., a_k.  В первую строчку записываются (по порядку) числа  1, 2, ..., n.  Доказать, что после заполнения таблицы в каждом столбце будут написаны все числа от 1 до n.

   Решение

---

Площадь данного выпуклого четырёхугольника равна S. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.

   Решение

---

С числом разрешается производить две операции: ``увеличить в два раза'' и ``увеличить на 1''. За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить
а) число 100; б) число n?

   Решение

---

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AB=CD$). На описанной около неё окружности выбирается точка $P$ так, что отрезок $CP$ пересекает основание $AD$ в точке $Q$. Пусть $L$ – середина $QD$. Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой $PL$.

   Решение

---

Дан многочлен P(x) с действительными коэффициентами. Бесконечная последовательность различных натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ... такова, что
P(a₁) = 0,  P(a₂) = a₁,  P(a₃) = a₂,  и т.д. Какую степень может иметь P(x)?

   Решение

---

Продолжения боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке P, а её диагонали – в точке Q. Точка M на меньшем основании BC такова, что  AM = MD.  Докажите, что  ∠PMB = ∠QMB.

   Решение

---

Докажите, что прямая, проходящая через центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон AB и AC, перпендикулярна прямой, проходящей через центр вписанной окружности и вершину A.

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Докажите, что биссектриса одного из углов, образованных высотами, проведёнными из вершин B и C, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.

   Решение

---

Из одной точки окружности проведены две хорды, равные 10 и 12. Найдите радиус окружности, если расстояние от середины меньшей хорды до большей равно 4.

   Решение

---

Около окружности описан n-угольник  A₁...A_n; l — произвольная касательная к окружности, не проходящая через вершины n-угольника. Пусть a_i — расстояние от вершины A_i до прямой l, b_i — расстояние от точки касания стороны  A_iA_{i + 1} с окружностью до прямой l. Докажите, что:
а) величина  b₁...b_n/(a₁...a_n) не зависит от выбора прямой l;
б) величина  a₁a₃...a_{2m - 1}/(a₂a₄...a_2m) не зависит от выбора прямой l, если n = 2m.

   Решение

---

Диагонали четырёхугольника ABCD равны и пересекаются в точке O. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке P, а серединные перпендикуляры к сторонам BC и AD – в точке Q. Найдите угол POQ.

   Решение

---

На шахматной доске 4×4 расположена фигура – "летучая ладья", которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход стать на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, становясь на каждое поле по разу, и вернуться на исходное поле?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 52488

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ] [ Взаимное расположение двух окружностей ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Окружность S₂ проходит через центр O окружности S₁ и пересекает её в точках A и B. Через точку A проведена касательная к окружности S₂. Точка D – вторая точка пересечения этой касательной с окружностью S₁. Докажите, что  AD = AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98127

Тема:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

n чисел  (n > 1)  называются близкими, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на  n – 1.  Пусть  a, b, c, ...   – n близких чисел, S – их сумма. Докажите, что
  а) все они положительны;
  б)  a + b > c;
  в)  a + b > ^S/_n–1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98102  [Летучая ладья]

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

На шахматной доске 4×4 расположена фигура – "летучая ладья", которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход стать на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, становясь на каждое поле по разу, и вернуться на исходное поле?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98103

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Обыкновенные дроби ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98104

Темы:   [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

На окружности записаны шесть чисел: каждое равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке.
Сумма всех чисел равна 1. Найти эти числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями