Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 18 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число  an + 1  простое, то a чётно и  n = 2k.
(Числа вида  fk = 22k + 1  называются числами Ферма.)

Вниз   Решение


Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках O1 и O2. Пусть a1 и a2 — внутренние касательные к этим окружностям, a3 и a4 — внешние касательные к ним. Пусть, далее, a5 и a6 — касательные к окружности с центром в O1, проведённые из точки O2, a7 и a8 — касательные к окружности с центром в точке O2, проведённые из точки O1. Обозначим через O точку пересечения a1 и a2. Доказать, что с центром в точке O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась a3 и a4, вторая касалась a5, a6, a7, a8, причём радиус второй в два раза меньше радиуса первой.

ВверхВниз   Решение


К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.

ВверхВниз   Решение


Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида:
e1 = 2,  en = e1e2...en–1 + 1  (n ≥ 2).  Все ли числа en являются простыми?

ВверхВниз   Решение


Можно ли множество всех натуральных чисел, больших 1, разбить на два непустых подмножества так, чтобы для каждых двух чисел a и b из одного множества число  ab – 1  принадлежало другому?

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство  pn+1 < p1p2...pn  (pkk-е простое число).

ВверхВниз   Решение


Дан квадрат со стороной 1. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до сторон этого квадрата или их продолжений равна 4.

ВверхВниз   Решение


В выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Углы, образованные сторонами четырёхугольника с диагональю AC, равны (в каком-то порядке) 16°, 19°, 55° и 55°. Каким может быть острый угол между диагоналями AC и BD?

ВверхВниз   Решение


Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.
Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что  ABC).

ВверхВниз   Решение


В таблице из n столбцов и 2n строк, в которых выписаны все возможные различные наборы из n чисел 1 и –1, некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое непустое подмножество строк так, что:
  а) сумма всех чисел в выбранных строках равна 0;
  б) сумма всех выбранных строк есть нулевая строка.
(Строки складываются покоординатно как векторы.)

ВверхВниз   Решение


Автор: Звонкин Д.

На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника P и Q. Для каждой стороны многоугольника P многоугольник Q можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через h расстояние между этими прямыми, а через l – длину стороны и вычислим произведение lh. Просуммировав такие произведения по всем сторонам P, получим некоторую величину  (P, Q).  Докажите, что  (P, Q) = (Q, P).

ВверхВниз   Решение


Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии $a$ от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной

а) не более $14а$;

б) не более $13а$?

ВверхВниз   Решение


Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.

ВверхВниз   Решение


По кругу стоят 99 детей, изначально у каждого есть мячик. Ежеминутно каждый ребёнок с мячиком кидает свой мячик одному из двух соседей; при этом, если два мячика попадают к одному ребёнку, то один из этих мячиков теряется безвозвратно. Через какое наименьшее время у детей может остаться только один мячик?

ВверхВниз   Решение


На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена  f и g и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени  f1 и g1, что  f + g = f1 + g1  или  fg = f1g1.  Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.

ВверхВниз   Решение


Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?

ВверхВниз   Решение


В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются непохожими, если они различаются не менее, чем по 51 признаку.
  а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.
  б) А может ли быть ровно 50?

ВверхВниз   Решение


В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      



Задача 98621

Темы:   [ Итерации ]
[ Многочлены (прочее) ]
[ Предел функции ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан многочлен P(x) с действительными коэффициентами. Бесконечная последовательность различных натуральных чисел a1, a2, a3, ... такова, что
P(a1) = 0,  P(a2) = a1P(a3) = a2,  и т.д. Какую степень может иметь P(x)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98625

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Правило произведения ]
[ Инварианты ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?

Прислать комментарий     Решение

Задача 105149

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Деление с остатком ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Боря задумал целое число, большее 100. Кира называет целое число, большее 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным – Кира проигрывает. Есть ли у неё выигрышная стратегия?

Прислать комментарий     Решение

Задача 105153

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Алгоритм Евклида ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Есть шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной n, разделённая бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок – треугольник со стороной 1, – победитель. Для каждого n выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы не играл противник?
Прислать комментарий     Решение


Задача 98603

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Внутренность и внешность. Лемма Жордана ]
[ Оценка + пример ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

а) Электрическая схема имеет вид решётки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от любого узла к любому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться?

б) Тот же вопрос для решётки 7×7 (всего 64 узла).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .