Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 355 356 357 358 359 360 361 >> [Всего задач: 1956]

Задача 58381 (#29.014)

Тема:

[

Решение задач при помощи аффинных преобразований

]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Дан треугольник ABC. Пусть O — точка пересечения его медиан, а M, N и P — точки сторон AB, BC и CA, делящие эти стороны в одинаковых отношениях (т. е. AM : MB = BN : NC = CP : PA = p : q). Докажите, что:
а) O — точка пересечения медиан треугольника MNP;
б) O — точка пересечения медиан треугольника, образованного прямыми AN, BP и CM.

Прислать комментарий Решение

Задача 58382 (#29.015)

Тема:

[

Решение задач при помощи аффинных преобразований

]

Сложность: 3
Классы: 9,10

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку B проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая диагональ AC в точке P, а через точку C — прямая, параллельная стороне AB и пересекающая диагональ BD в точке Q. Докажите, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.

Прислать комментарий Решение

Задача 58383 (#29.016)

Тема:

[

Решение задач при помощи аффинных преобразований

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

В параллелограмме ABCD точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA. На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁ четырехугольника A₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки A₂, B₂, C₂, D₂. Известно, что

$\displaystyle {\frac{AA_1}{BA_1}}$ = $\displaystyle {\frac{BB_1}{CB_1}}$ = $\displaystyle {\frac{CC_1}{DC_1}}$ = $\displaystyle {\frac{DD_1}{AD_1}}$ = $\displaystyle {\frac{A_1D_2}{D_1D_2}}$ = $\displaystyle {\frac{D_1C_2}{C_1C_2}}$ = $\displaystyle {\frac{C_1B_2}{B_1B_2}}$ = $\displaystyle {\frac{B_1A_2}{A_1A_2}}$ .

Докажите, что A₂B₂C₂D₂ — параллелограмм со сторонами, параллельными сторонам ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58384 (#29.017)

Тема:

[

Решение задач при помощи аффинных преобразований

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC даны точки M, N и P соответственно. Докажите:
а) если точки M₁, N₁ и P₁ симметричны точкам M, N и P относительно середин соответствующих сторон, то S_MNP = S_M₁N₁P₁.
б) если M₁, N₁ и P₁ — такие точки сторон AC, BA и CB, что MM₁| BC, NN₁| CA и PP₁| AB, то S_MNP = S_M₁N₁P₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 58385 (#29.020)

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Пусть a, b, c, d — комплексные числа, причем углы a0b и c0d равны и противоположно ориентированы. Докажите, что тогда $\Im$ abcd = 0.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 355 356 357 358 359 360 361 >> [Всего задач: 1956]