Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 470]

Задача 73735 (#М200)

Темы:	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Колмогоров А.Н.

а) На рисунке слева изображены шесть точек, которые лежат по три на четырёх прямых. Докажите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя так, чтобы каждые три точки, лежащие на одной прямой, отобразились в три точки, лежащие на одной прямой.

б) На рисунке справа девять точек лежат по три на девяти прямых, причём через каждую точку проходит по три таких прямых. Эти девять точек и девять прямых образуют знаменитую конфигурацию Паскаля. Сколькими способами можно множество наших девяти точек отобразить на себя так, чтобы каждая тройка точек, лежащая на одной из девяти наших прямых, отобразилась на тройку точек, которая тоже лежит на некоторой прямой из нашей конфигурации?

в) Тот же вопрос для конфигурации Дезарга (из десяти точек и десяти прямых), изображённой на нижнем рисунке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73737 (#М202)

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Из последовательности a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^a/_d рационально. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73739 (#М204)

Темы:	[	Дискретное распределение	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Показательные неравенства	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Гуревич Г.А.

Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1, 9, 7, 3, и плохим — в противном случае. (Например, число 197 639 917 — плохое, а 116 519 732 — хорошее.) Докажите, что существует такое натуральное число n, что среди всех n-значных чисел (от 10^{n – 1} до 10ⁿ – 1) больше хороших, чем плохих.

Постарайтесь найти возможно меньшее такое n.

Прислать комментарий Решение

Задача 73740 (#М205)

Темы:	[	Линейная и полилинейная алгебра	]
	[	Системы линейных уравнений	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Теория множеств (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

Прислать комментарий Решение

Задача 73741 (#М206)

Темы:	[	Деление с остатком	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Уфнаровский В.А.

Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа n, взаимно простого с числом 10, можно указать такую группу стоящих подряд цифр последовательности, что записываемое этими цифрами число делится на n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 470]