Страница:
<< 33 34 35 36
37 38 39 >> [Всего задач: 470]
Задача
57349
(#М193)
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9
|
Докажите, что сумма площадей пяти треугольников,
образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями
выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.
Задача
73729
(#М194)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Даны два взаимно простых натуральных числа a и b. Рассмотрим множество M целых чисел, представимых в виде ax + by, где x и y – целые неотрицательные числа.
а) Каково наибольшее целое число c, не принадлежащее множеству М?
б) Докажите, что из двух чисел n и с – n (где n – любое целое) одно принадлежит М, а другое нет.
Задача
58094
(#М196)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд.
Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более
k
хорд, то сумма длин хорд меньше
k.
Задача
73732
(#М197)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для
а) m = n = 2;
б) m = 2 и произвольного n;
в) любых натуральных m и n.
Задача
73734
(#М199)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
а) Докажите, что 
(сумма берётся по всем целым i, 0 ≤ i ≤ n/2).
б) Докажите, что если p и q – различные числа и p + q = 1, то
Страница:
<< 33 34 35 36
37 38 39 >> [Всего задач: 470]
Фильтр
