Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 469]

Задача 78759 (#М34)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Толпыго А.К.

Доказать, что если натуральное число k делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78758 (#М35)

Темы:	[	Площадь сферы и ее частей	]
Темы:	[	Описанные многогранники	]

Сложность: 6-
Классы: 10,11

Автор: Кушниренко А.Г.

Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.

Прислать комментарий Решение

Задача 73571 (#М36)

Темы:	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.

Прислать комментарий Решение

Задача 73572 (#М37)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Ионин Ю.И.

В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
б) Докажите, что можно взять c = 4.
в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для c = 3.
г) Постройте пример, показывающий, что при c > 3 утверждение неверно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55522 (#М38)

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
Темы:	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Лоповок Л.М.

Окружность, построенная на высоте AD прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает катет AB в точке K, а катет AC — в точке M. Отрезок KM пересекает высоту AD в точке L. Известно, что отрезки AK, AL и AM составляют геометрическую прогрессию (т.е. ${\frac{AK}{AL}}$ = ${\frac{AL}{AM}}$ ). Найдите острые углы треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 469]