Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 470]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98441  (#М1684)

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98420  (#М1687)  [Багаж в Московском метрополитене]

Темы:   [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ] [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Боковая поверхность параллелепипеда ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений – длины, ширины и высоты.
Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98421  (#М1688)

Темы:   [ Замена переменных ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Разрывы функций ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Дана функция    ,   где трёхчлены  x² + ax + b  и  x² + cx + d  не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
  1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
  2)  f(x) представима в виде:  f(x) = f₁(f₂(...f_n–1(f_n(x))...)),  где каждая из функций  f_i(x) есть функция одного из видов:   k_ix + b_i, x^–1, x².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105077  (#М1716)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Шахматная раскраска ] [ Степень вершины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10

Какое наибольшее число коней можно расставить на доске 5×5 клеток так, чтобы каждый из них бил ровно двух других?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98446  (#М1726)

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На плоскости проведено n прямых. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все n, при которых это возможно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 470]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями