Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 87 88 89 90 91 92 93 >> [Всего задач: 470]

Задача 107844 (#М1600)

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
	[	Параллельный перенос (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Смуров М.В.

На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.
Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98353 (#М1604)

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Пушкарь П.Е., Дольников В.Л.

Контуры выпуклых многоугольников F и G не имеют общих точек, причём G расположен внутри F. Хорду многоугольника F – отрезок, соединяющий две точки контура F, назовём опорной для G, если она пересекается с G только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону G.
а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру G.
б) Докажите, что найдутся две такие хорды.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109647 (#М1611)

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Композиции поворотов	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Терешин Д.А.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

Прислать комментарий Решение

Задача 98372 (#М1631)

Темы:	[	Произвольные многоугольники	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Движения (прочее)	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Маркелов С.В.

Верны ли утверждения:
а) Если многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
б) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
в) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга движением, сохраняющим ориентацию (то есть поворотом или параллельным переносом), то его можно разбить отрезком на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга таким же движением.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98365 (#М1632)

Темы:	[	Деревья	]
	[	Раскраски	]
	[	Куб	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Шаповалов А.В.

Раскрашенный в чёрный и белый цвета кубик с гранью в одну клетку поставили на одну из клеток шахматной доски и прокатили по ней так, что кубик побывал на каждой клетке ровно по одному разу. Можно ли так раскрасить кубик и так прокатить его по доске, чтобы каждый раз цвета клетки и соприкоснувшейся с ней грани совпадали?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 87 88 89 90 91 92 93 >> [Всего задач: 470]